Question

2．對于定義域為R的函數(shù)f（x），若滿足①f（0）=0；②當(dāng)x∈R，且x≠0時，都有xf'（x）＞0；③當(dāng)x₁≠x₂，且f（x₁）=f（x₂）時，x₁+x₂＜0，則稱f（x）為“偏對稱函數(shù)”．
現(xiàn)給出四個函數(shù)：g（x）=$\left\{\begin{array}{l}（\frac{1}{{{2^x}-1}}+\frac{1}{2}）{x^2}（x≠0）\\ 0（x=0）\end{array}\right.；h（x）=\left\{\begin{array}{l}ln（-x+1）（x≤0）\\ 2x（x＞0）\end{array}\right.；ϕ（x）=-{x^3}+\frac{3}{2}{x^2}$；φ（x）=e^x-x-1．
則其中是“偏對稱函數(shù)”的函數(shù)個數(shù)為2．

Answer 1

分析 逐個條件進(jìn)行驗證：首先可驗證四個函數(shù)都滿足條件①；對于條件②，若f′（x）的符號容易判斷，可驗證不等式xf'（x）＞0成立，若f′（x）的符號不容易判斷，可理解到為函數(shù)在區(qū)間（-∞，0）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，通過函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷，可排除不滿足條件的g（x）和Φ（x）；對剩余的函數(shù)驗證條件③，h（x）和Φ（x）都在區(qū)間（-∞，0）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，所以由條件③可設(shè)x₁＜0＜x₂，則有h（-x₂）-h（x₁）=h（-x₂）-h（x₂），構(gòu)造函數(shù)F（x）=h（-x）-h（x），通過求導(dǎo)判斷F（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，從而判斷F（x₂）與F（0）的大小關(guān)系，即得到h（-x₂）與h（x₁）的大小關(guān)系，從而得到x₁+x_{2的符號，判斷條件③是否成立，函數(shù)}φ（x）同樣的方法來驗證條件③．

解答 經(jīng)驗證，g（x），h（x），Φ（x），φ（x）都滿足條件①；
xf′（x）＞0?$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f′（x）＞0}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{f′（x）＜0}\end{array}\right.$．即條件②等價于函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增．
而容易驗證g（x）是奇函數(shù)，由及函數(shù)的性質(zhì)可知g（x）在區(qū)間（-∞，0）和（0，+∞）上單調(diào)性相同，故g（x）不滿足條件②．
由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性法則知h（x）在區(qū)間（-∞，0）上單調(diào)遞減，顯然在（0，+∞）上單調(diào)遞增，故h（x）滿足條件②．
Φ′（x）=-3x²+3x，xΦ′（x）=-3x³+3x²=-3x²（x-1），當(dāng)x＞1時，xΦ′（x）＜0，故Φ（x）不滿足條件②．
φ′（x）=e^x-1，xφ′（x）=x（e^x-1），滿足條件②．
故由條件②可排除g（x）和Φ（x）；
由函數(shù)h（x）的單調(diào)性知：當(dāng)x₁≠x₂，且h（x₁）=h（x₂）時，x₁x₂＜0，不妨設(shè)x₁＜0＜x₂．
則ln（-x₁+1）=2x₂，設(shè)F（x）=ln（x+1）-2x，x＞0．則F′（x）=$\frac{1}{x+1}-2=\frac{-2x-1}{x+1}$＜0，F(xiàn)（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，
所以F（x₂）＜F（0）=0，即ln（x₂+1）＜2x₂，即ln（x₂+1）＜ln（-x₁+1），所以x₂+1＜-x₁+1，即x₁+x₂＜0，故h（x）也滿足條件③，所以h（x）是“偏對稱函數(shù)”．
由φ（x）的單調(diào)性知當(dāng)x₁≠x₂，且φ（x₁）=φ（x₂）時，x₁x₂＜0，不妨設(shè)x₁＜0＜x₂．
則${e}^{{x}_{1}}-{x}_{1}-1={e}^{{x}_{2}}-{x}_{2}-1$，-x₂＜0，φ（x₁）-φ（-x₂）=φ（x₂）-φ（-x₂）=${e}^{{x}_{2}}-{e}^{-{x}_{2}}-2{x}_{2}$．
令F（x）=e^x-e^-x-2x，F(xiàn)′（x）=${e}^{x}+{e}^{-x}-2≥2\sqrt{{e}^{x}•{e}^{-x}}-2=0$，當(dāng)且僅當(dāng)e^x=e^-x即x=0時，“=”成立，
所以F（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，所以F（x₂）＞F（0）=0，即φ（x₁）-φ（-x₂）＞0，所以φ（x₁）＞φ（-x₂），所以x₁＜-x₂，所以x₁+x₂＜0．所以φ（x）是“偏對稱函數(shù)”．
故答案為：2

點(diǎn)評 本題主要是在新定義下考查函數(shù)的單調(diào)性與最值、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，屬于難題