Question

設(shè)數(shù)列{a_n}(n＝1,2，…)是等差數(shù)列，且公差為d，若數(shù)列{a_n}中任意(不同)兩項之和仍是該數(shù)列中的一項，則稱該數(shù)列是“封閉數(shù)列”.

(1)若a₁＝4，d＝2，求證：該數(shù)列是“封閉數(shù)列”.

(2)若a_n＝2n－7(n∈N_＋)，試判斷數(shù)列{a_n}是否是“封閉數(shù)列”，為什么？

(3)設(shè)S_n是數(shù)列{a_n}的前n項和，若公差d＝1，a₁＞0，試問：是否存在這樣的“封閉數(shù)列”，使＜＋＋…＋＜.若存在，求{a_n}的通項公式；若不存在，說明理由.

Answer 1

(1)a_n＝4＋(n－1)·2＝2n＋2，

對任意的m，n∈N_＋，有a_m＋a_n＝(2m＋2)＋(2n＋2)＝2(m＋n＋1)＋2，

∵m＋n＋1∈N_＋于是，令p＝m＋n＋1，則有a_p＝2p＋2∈{a_n}.

(2)∵a₁＝－5，a₂＝－3，∴a₁＋a₂＝－8，令a_n＝a₁＋a₂＝－8，即2n－7＝－8解得n＝－N_＋，所以數(shù)列{a_n}不是封閉數(shù)列.

(3)由{a_n}是“封閉數(shù)列”，得：對任意m，n∈N_＋，必存在p∈N_＋使a₁＋(n－1)＋a₁＋(m－1)＝a₁＋(p－1)成立，于是有a₁＝p－m－n＋1為整數(shù)，

又∵a₁＞0，∴a₁是正整數(shù).

若a₁＝1，則S_n＝，所以＋＋…＋

＝2(1－)＞，不符合題意，

若a₁＝2，則S_n＝，所以＋＋…＋＝(1＋＋－－－)

＝－×(＋＋)＜，而－×(＋＋)＞－×＝－＞，所以符合題意，

若a₁＝3，則S_n＝，所以＋＋…＋＝(1＋＋＋＋－－－－－)

＝－(＋＋＋＋)＜，

綜上所述，a₁＝2時存在數(shù)列{a_n}是“封閉數(shù)列”，此時a_n＝n＋1(n∈N_＋).