Question

已知拋物線(xiàn)C₁的焦點(diǎn)與橢圓C₂：的右焦點(diǎn)重合，拋物線(xiàn)C₁的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M（4，0）的直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)C₁分別相交于A、B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）寫(xiě)出拋物線(xiàn)C₁的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）若，求直線(xiàn)l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由拋物線(xiàn)C₁的焦點(diǎn)與橢圓C₂：的右焦點(diǎn)重合，知拋物線(xiàn)C₁的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（1，0），再由拋物線(xiàn)C₁的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，能求出拋物線(xiàn)C₁的方程．
（2）設(shè)直線(xiàn)AB的方程為：y=k（x-4）（k≠0）．聯(lián)立，得 ky²-4y-16k=0，故△=16+64k²＞0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則，y₁•y₂=-16，利用弦長(zhǎng)公式能求出直線(xiàn)l的方程．
解答：（本小題滿(mǎn)分12分）
解：（1）∵拋物線(xiàn)C₁的焦點(diǎn)與橢圓C₂：的右焦點(diǎn)重合，
∴拋物線(xiàn)C₁的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（1，0），
∵拋物線(xiàn)C₁的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，
∴拋物線(xiàn)C₁的方程為：y²=4x．…（6分）
（2）若直線(xiàn)AB的斜率不存在時(shí)，|AB|=8，不合題意，故直線(xiàn)AB的斜率存在．
由題意可設(shè)直線(xiàn)AB的方程為：y=k（x-4）（k≠0）．
聯(lián)立，消去x，得 ky²-4y-16k=0，

∴△=16+64k²＞0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則，y₁•y₂=-16，
∴
=
=
由，得k²=1，
∴k=±1，
∴直線(xiàn)l的方程為：x-y-4=0或x+y-4=0．…（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線(xiàn)方程和直線(xiàn)方程的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)、直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系等基本問(wèn)題的合理運(yùn)用．