Question

已知體積為4

3

π的球的表面上有A，B，C三點(diǎn)，且AB=1，BC=

2

，A，C兩點(diǎn)的球面距離為

3

3

π，求球心到平面ABC的距離．

Answer 1

分析：設(shè)球的半徑為R，通過球的體積求出球的半徑，設(shè)A、C兩點(diǎn)對(duì)球心張角為θ，利用球面距離求出AC，說明AC為ABC所在平面的小圓的直徑，∠ABC=90°，設(shè)ABC所在平面的小圓圓心為O′，求出球心到平面ABC的距離．

解答：解：設(shè)球的半徑為R，則V=

4

3

πR3=4

3

π，（4分）
∴R=

3

．（5分）
設(shè)A、C兩點(diǎn)對(duì)球心張角為θ，則

AC

=Rθ=

3

θ=

3

3

π，（7分）
∴θ=

π

3

，（8分）
∴AC=

3

，（9分）
∴AC為ABC所在平面的小圓的直徑，（10分）
∴∠ABC=90°，設(shè)ABC所在平面的小圓圓心為O′，
則球心到平面ABC的距離為d=OO'=

R2-BO′2

=

3-( 3 2 )2

=

3

2

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查球的內(nèi)接多面體的應(yīng)該知識(shí)，能夠說明AC是ABC所在平面的小圓的直徑是解題的關(guān)鍵，考查空間想象能力，計(jì)算能力．