Question

已知?jiǎng)訄A的圓心C在拋物線(xiàn)x²=2py（p＞0）上，該圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，p），且與x軸交于兩點(diǎn)M、N，則sin∠MCN的最大值為_(kāi)_____．

Answer 1

由題意，設(shè)C（x₀，y₀），則⊙C的方程（x-x₀）²+（y-y₀）²=x₀²+（y₀-p）²．
把y=0和x₀²=2py₀代入整理得x²-2x₀x+x₀²+p²=0．
設(shè)M、N的橫坐標(biāo)分別為x₁、x₂，則x₁=x₀-p，x₂=x₀+p．
∴|MN|=|x₁-x₂|=2p．
∵|CM|=|CN|=

(x0-x1)2+y02

=

p2+y02

∴cos∠MCN=

-2p2+2y02

2p2+2y02

=1-

2p2

p2+y02

∴-1≤cos∠MCN＜1，
∵0＜∠MCN＜π
∴0＜sin∠MCN≤1，
∴sin∠MCN的最大值為1
故答案為：1