Question

在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且cosA=

1

4

，a=4．
（1）若b+c=6，且b＜c，求b，c的值．
（2）求△ABC的面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用余弦定理列出關(guān)系式，將a與cosA的值代入并利用完全平方公式變形，求出bc的值，與b+c的值聯(lián)立即可求出b與c的值；
（2）利用余弦定理列出關(guān)系式，再利用基本不等式變形求出bc的最大值，即可確定出三角形ABC面積的最大值．

解答：解�。�1）由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，
∴16=（b+c）²-2bc-

1

2

bc
∴bc=8，
又∵b+c=6，b＜c，
解方程組

b+c=6 bc=8

，得b=2，c=4或b=4，c=2（舍）．
∴b=2，c=4；
（2）由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，
∴16=b²+c²-

1

2

bc，
∵b²+c²≥2bc，
∴bc≤

32

3

，
∵sinA=

15

4

，
∴（S_△ABC）_max=

4 15

3

，此時(shí)b=c=

16

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了余弦定理，基本不等式的運(yùn)用，以及完全平方公式的運(yùn)用，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．