如圖，在多面體ABCDEF中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，四邊形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF=3，G和H分別是CE和CF的中點(diǎn).

（Ⅰ）求證：AC⊥平面BDEF；
（Ⅱ）求證：平面BDGH//平面AEF；
（Ⅲ）求多面體ABCDEF的體積.

（Ⅰ）答案詳見(jiàn)解析；（Ⅱ）答案詳見(jiàn)解析；（Ⅲ）.

解析試題分析：（Ⅰ）∵平面平面，且，由面面垂直的性質(zhì)定理知平面，該題還可以利用線面垂直的判定定理證明，先證平面，得，又，進(jìn)而證明平面；（Ⅱ）要證明面面平行，需尋求兩個(gè)線面平行關(guān)系，由，得平面；設(shè)，連接，則，從而平面，進(jìn)而證明平面平面；（Ⅲ）對(duì)于不規(guī)則幾何體的體積問(wèn)題，可以采取割補(bǔ)的辦法，將之轉(zhuǎn)化為規(guī)則的幾何體來(lái)求，所求幾何體的體積等于.
試題解析：（Ⅰ）證明：因?yàn)樗倪呅?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/a0/1/vk0r11.png" style="vertical-align:middle;" />是正方形，所以.
又因?yàn)槠矫?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/74/b/lfstk2.png" style="vertical-align:middle;" />平面，平面平面，且平面，
所以平面.

（Ⅱ）證明：在中，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/1f/e/1zdbc4.png" style="vertical-align:middle;" />分別是的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/41/7/khkze1.png" style="vertical-align:middle;" />平面，平面，所以平面.設(shè)，連接，在中，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/75/c/1qfes2.png" style="vertical-align:middle;" />，，所以，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/a9/d/1j3pd4.png" style="vertical-align:middle;" />平面，平面，所以平面.
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/2c/7/y6dlv1.png" style="vertical-align:middle;" />，平面，所以平面平面.
（Ⅲ）解：由（Ⅰ），得平面，，四邊形的面積，
所以四棱錐的體積.同理，四棱錐的體積.
所以多面體的體積
考點(diǎn)：1、直線和平面垂直的判定；2、面面平行的判定；3、幾何體的體積.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

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（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）求三棱錐的體積．

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如圖，四棱錐中，底面是菱形，，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在側(cè)棱上．

（1）求證：⊥平面；
（2）若是的中點(diǎn)，求證：//平面；
（3）若，試求的值．

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如圖,正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直,AD丄CD,AB//CD,AB=AD=CD=2,點(diǎn)M在線段EC上.

(I)當(dāng)點(diǎn)M為EC中點(diǎn)時(shí)，求證: 面;
(II)求證:平面BDE丄平面BEC；
(III)若平面說(shuō)BDM與平面ABF所成二面角銳角,且該二面角的余弦值為時(shí)，求三棱錐M-BDE的體積.

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如圖，已知矩形中，，，將矩形沿對(duì)角線把折起，使移到點(diǎn)，且在平面上的射影恰好在上.

（1）求證：；
（2）求證：平面平面；
（3）求三棱錐的體積.

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同步練習(xí)冊(cè)答案