Question

已知函數(shù)f(x)=loga

1-m(x-2)

x-3

(a＞0，a≠1)，
對(duì)定義域內(nèi)的任意x都有f（2-x）+f（2+x）=0成立．
（1）求實(shí)數(shù)m的值；
（2）當(dāng)x∈（b，a）時(shí)，f（x）的取值范圍恰為（1，+∞），求實(shí)數(shù)a，b的值．

Answer 1

分析：（1）先由條件：“f（2-x）+f（2+x）=0”得：loga

1+mx

-x-1

+loga

1-mx

x-1

=0化簡(jiǎn)得：（m²-1）x²=0對(duì)定義域內(nèi)的任意x成立，即可求得m 值；
（2）先寫(xiě)出f（x）的表達(dá)式：f(x)=loga

x-1

x-3

，由f（x）的取值范圍恰為（1，+∞），對(duì)a進(jìn)行分類(lèi)討論：當(dāng)0＜a＜1時(shí)，當(dāng)a＞1時(shí)，分別求得實(shí)數(shù)a，b的值即可．

解答：解：（1）由條件得：loga

1+mx

-x-1

+loga

1-mx

x-1

=0〔（1分）〕
∴（m²-1）x²=0對(duì)定義域內(nèi)的任意x成立〔（3分）〕
∴m²-1=0〔（4分）〕
∴m=1或m=-1〔（5分）〕
當(dāng)m=1時(shí)不成立
∴m=-1〔（7分）〕
（2）f(x)=loga

x-1

x-3

由f（x）的取值范圍恰為（1，+∞），
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，y=

x-1

x-3

x∈（b，a）的值域?yàn)椋?，a），〔（8分）〕
函數(shù)y=

x-1

x-3

在x∈（b，a）上是減函數(shù)，所以

a-1

a-3

=0，這是不可能的．〔（10分）〕
當(dāng)a＞1時(shí)，y=

x-1

x-3

x∈（b，a）的值域?yàn)椋╝，+∞），〔（11分）〕
所以，函數(shù)y=

x-1

x-3

在x∈（b，a）上是減函數(shù)，并且b=3〔（13分）〕
所以，

a-1

a-3

=a，解得a=2+

3

〔（15分）〕
綜上：a=2+

3

，b=3〔（16分）〕

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，（2）問(wèn)解答關(guān)鍵是對(duì)a分類(lèi)討論后應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性．