Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：S_n=1-a_n（n∈N^*），其中S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和．
（Ⅰ）試求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}滿足：{b_n}=

n

an

，試求{b_n}的前n項(xiàng)和公式T_n；
（III）設(shè)c_n=

1

1+an

+

1

1-an+1

，數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和為P_n，求證：P_n＞2n-

1

2

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由S_n=1-a_n知S_n+1=1-a_n+1，故a_n=1=

1

2

a_n（n∈N^*），由此能導(dǎo)出{a_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）b_n=

n

an

=n•2ⁿ，（n∈N^*），所以T_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，再由錯(cuò)位相減法能導(dǎo)出T_n=（n-1）×2ⁿ⁺¹=2，（n∈N^*）．
（III）由c_n=

1

1+an

+

1

1-an+1

=

1

1+ ( 1 2 )n

+

1

1- ( 1 2 )n+1

=

2n

2n+1

+

2n+1

2n+1-1

=1-

1

2n+1

+1+

1

2n+1-1

=2-（

1

2n+1

-

1

2n+1-1

），能導(dǎo)出P_n＞2n-（

1

22

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n+1

）=2n-

1 22 (1- 1 2n )

1- 1 2

=2n-

1

2

+

1

2n+1

＞2n-

1

2

，（n∈N^*）．

解答：解：（Ⅰ）S_n=1-a_n①
∴S_n+1=1-a_n+1②
②-①a_n+1=-a_n+1+a_n
∴a_n=1=

1

2

a_n（n∈N^*）又n=1時(shí)，a₁=1-a₁
∴a₁=

1

2

，a_n=

1

2

•(

1

2

)n-1=(

1

2

)n（n∈N^*）
（Ⅱ）b_n=

n

an

=n•2ⁿ，（n∈N^*）
∴T_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ③
2T_n=1×2^{2}+2×3²+3×2⁴+…+n×2ⁿ⁺¹④
③-④得-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹=

2(1-2n)

1-2

-n×2ⁿ⁺¹
整理得：T_n=（n-1）×2ⁿ⁺¹=2，（n∈N^*）
（III）∵c_n=

1

1+an

+

1

1-an+1

=

1

1+ ( 1 2 )n

+

1

1- ( 1 2 )n+1

=

2n

2n+1

+

2n+1

2n+1-1

=1-

1

2n+1

+1+

1

2n+1-1

=2-（

1

2n+1

-

1

2n+1-1

）
又

1

2n+1

-

1

2n+1-1

=

2n+1-1-(2n+1)

(2n+1)(2n+1-1)

=

2n-2

2n+1+2n-1

＜

2n

2n+1+2n-1

=

1

2n+1+1- 1 2n

＜

1

2n+1

∴P_n＞2n-（

1

22

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n+1

）=2n-

1 22 (1- 1 2n )

1- 1 2

=2n-

1

2

+

1

2n+1

＞2n-

1

2

，（n∈N^*）

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意公式的合理運(yùn)用．