Question

設(shè)方程2^x+x+2=0和方程log₂x+x+2=0的根分別為p和q，函數(shù)f（x）=（x+p）（x+q）+2，則（ ）
A．f（2）=f（0）＜f（3）
B．f（0）＜f（2）＜f（3）
C．f（3）＜f（0）=f（2）
D．f（0）＜f（3）＜f（2）

Answer 1

【答案】分析：把兩個方程分別看作指數(shù)函數(shù)與直線y=-x-2的交點B和對數(shù)函數(shù)與直線y=-x-2的交點A的橫坐標(biāo)分別為p和q，而指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)則關(guān)于y=x對稱，求出AB的中點坐標(biāo)得到p+q=-2；然后把函數(shù)f（x）化簡后得到一個二次函數(shù)，對稱軸為直線x=-=1，所以得到f（2）=f（0）且根據(jù)二次函數(shù)的增減性得到f（2）和f（0）都小于f（3）得到答案．
解答：解：方程2^x+x+2=0和方程log₂x+x+2=0可以分別看作方程方程2^x=-x-2和方程log₂x=-x-2，方程2^x+x+2=0和方程log₂x+x+2=0的根分別為p和q即分別為函數(shù)y=2^x與函數(shù)y=-x-2的交點B橫坐標(biāo)為p；y=log₂^x與y=-x-2的交點C橫坐標(biāo)為q．由y=2^x與y=log₂^x互為反函數(shù)且關(guān)于y=x對稱，所以BC的中點A一定在直線y=x上，聯(lián)立得解得A點坐標(biāo)為（-1，-1）根據(jù)中點坐標(biāo)公式得到=-1即p+q=-2，
則f（x）=（x+p）（x+q）+2=x²+（p+q）x+pq+2為開口向上的拋物線，且對稱軸為x=-=1，
得到f（0）=f（2）且當(dāng)x＞1時，函數(shù)為增函數(shù)，所以f（3）＞f（2），
綜上，f（3）＞f（2）=f（0）
故選A
點評：此題是一道綜合題，考查學(xué)生靈活運用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，要求學(xué)生掌握反函數(shù)的性質(zhì)，會利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)解決實際問題．