Question

【題目】已知橢圓:的離心率為，左、右焦點分別為，點在橢圓上，的周長為．

（1）求橢圓的方程；

（2）已知直線l經(jīng)過點，且與橢圓交于不同的兩點，若（為坐標(biāo)原點）成等比數(shù)列，判斷直線的斜率是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）直線的斜率為定值，該定值為.

【解析】

（1）根據(jù)題意，列出關(guān)于的方程組，求得的值，即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)直線的方程為，設(shè)，，聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求得，再由，求得k的值，即可得到結(jié)論．

（1）由題意，得，解得，故橢圓的方程為．

（2）由題意，可設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，設(shè)，．

聯(lián)立方程，得，

消去，整理得，

由根與系數(shù)的關(guān)系，得，

由，得，

因為成等比數(shù)列，所以，

所以，即，

即，

所以，

整理得，所以，

因為，所以，

故直線的斜率為定值，該定值為．