Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足a_n+2S_n•S_n-1=0（n≥2，n∈N^*），a₁=

1

2

．
（Ⅰ）求證：{

1

Sn

}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅲ）若b_n=2（1-n）a_n（n≥2，n∈N^*），求證：b₂²+b₃²+…+b_n²＜1．

Answer 1

分析：（Ⅰ）a_n+2S_n•S_n-1=0整理得

1

Sn

-

1

Sn-1

=2判斷出{

1

Sn

}是等差數(shù)列．
（Ⅱ）根據(jù)等差數(shù)列的通項公式求得

1

Sn

，則S_n可得．進而根據(jù)a_n=S_n-S_n-1求得n≥2時數(shù)列的通項公式，進而求得a₁，則數(shù)列的通項公式可得．
（Ⅲ）把（Ⅱ）中的a_n代入b_n=2（1-n）a_n中求得

b

n 2

=

1

n2

，進而利用裂項法求得答案．

解答：解：（Ⅰ）由a_n+2S_n•S_n-1=0（n≥2，n∈N^*），得S_n-S_n-1+2S_n•S_n-1=0，
所以

1

Sn

-

1

Sn-1

=2 (n≥2，n∈N*)，故{

1

Sn

}是等差數(shù)列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

1

Sn

=2n，
所以Sn=

1

2n

．an=Sn-Sn-1=

1

2n

-

1

2(n-1)

 (n≥2)
所以an=

1 2 ，(n=1) - 1 2n(n-1) ，(n≥2).

（Ⅲ）bn=2(1-n)•[-

1

2n(n-1)

]=

1

n

(n≥2)
所以

b

2 n

=

1

n2

＜

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

  (n≥2)
b₂²+b₃²++b_n²＜1-

1

2

+

1

2

-

1

3

++

1

n-1

-

1

n

=1-

1

n

＜1．

點評：本題主要考查了等差數(shù)列的性質和等差關系的確定．對于數(shù)列求和問題，應注意掌握裂項法、錯位相減、疊加法等方法．