Question

在內(nèi)切圓半徑為r（定值）的直角三角形中，試證明等腰三角形的周長(zhǎng)為最短．

Answer 1

分析：設(shè)兩直角邊為a和b，斜邊為c，周長(zhǎng)為l，根據(jù)直角三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)可知，

a+b-c

2

=r，

ab

l

=r，進(jìn)而根據(jù)均值不等式建立關(guān)于l的不等式求得l的范圍，確定當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)，

解答：證明：設(shè)兩直角邊為a和b，斜邊為c，周長(zhǎng)為l
則

a+b-c

2

=r，

ab

l

=r，
∴a+b=

l+2r

2

，ab=lr
∵4ab≤（a+b）²，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)，
∴4lr≤（

l+2r

2

）²，解得l≥6+4

2

故當(dāng)a=b時(shí)周長(zhǎng)最短．
即等腰三角形的周長(zhǎng)為最短．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是判斷取最值時(shí)滿足的條件．