Question

設(shè)f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，函數(shù)g（x）與f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g（x）=lnx-ax²．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若對(duì)于區(qū)間（0，1）上任意的x，都有|f（x）|≥1成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先利用函數(shù)g（x）與f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱得：f（x）的圖象上任意一點(diǎn)P（x，y）關(guān)于y軸對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)Q（-x，y）在g（x）的圖象上；然后再利用x∈[-1，0）時(shí)，-x∈（0，1]，則f（x）=g（-x）求出一段解析式，再利用定義域內(nèi)有0，可得f（0）=0；最后利用其為奇函數(shù)可求x∈（0，1]時(shí)對(duì)應(yīng)的解析式，綜合即可求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）先求出f（x）在（0，1]上的導(dǎo)函數(shù)，利用其導(dǎo)函數(shù)求出其在（0，1]上的單調(diào)性，進(jìn)而求出其最大值，只須讓起最大值與1相比即可求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）∵g（x）的圖象與f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，
∴f（x）的圖象上任意一點(diǎn)P（x，y）關(guān)于y軸對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)Q（-x，y）在g（x）的圖象上．
當(dāng)x∈[-1，0）時(shí)，-x∈（0，1]，則f（x）=g（-x）=ln（-x）-ax²．（2分）
∵f（x）為[-1，1]上的奇函數(shù)，則f（0）=0．（4分）
當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，-x∈[-1，0），f（x）=-f（-x）=-lnx+ax²．（6分）
∴f（x）=

ln(-x)-ax2(-1≤x＜0) 0  (x=0) -lnx+ax2(0＜x≤1)

（7分）
（2）由（1）知，f'（x）=-

1

x

+2ax．
①若f'（x）≤0在（0，1]恒成立，則-

1

x

+2ax≤0?a≤

1

2x2

．
此時(shí)，a≤

1

2

，f（x）在（0，1]上單調(diào)遞減，f（x）_min=f（1）=a，
∴f（x）的值域?yàn)閇a，+∞）與|f（x）|≥1矛盾．（11分）
②當(dāng)a＞

1

2

時(shí)，令f'（x）=-

1

x

+2ax=0?x=

1 2a

∈（0，1]，
∴當(dāng)x∈（0，

1 2a

）時(shí)，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（

1 2a

，1]時(shí)，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
∴f（x）_min=f（

1 2a

）=-ln

1 2a

+a( 

1 2a )

2=

1

2

ln2a+

1

2

．
由|f（x）|≥1，得

1

2

ln2a+

1

2

≥1?≥

e

2

．（15分）
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為a≥

e

2

．（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)恒成立問(wèn)題以及函數(shù)解析式的求解及常用方法和奇偶函數(shù)圖象的對(duì)稱性，是對(duì)函數(shù)知識(shí)的綜合考查，屬于中檔題．