Question

若等差數列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足

Sn

S2n

為常數，則稱該數列為S數列．
（Ⅰ）判斷a_n=4n-2是否為S數列？并說明理由；
（Ⅱ）若首項為a₁的等差數列{a_n}（a_n不為常數）為S數列，試求出其通項公式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由等差數列的通項公式找出等差數列的首項和公差，然后利用等差數列的前n項和的公式表示出S_n和S_2n，求出

Sn

S2n

等于

1

4

為常數，所以得到該數列為S數列；
（Ⅱ）設此數列的公差為d，根據首項和公差，利用等差數列的前n項和的公式表示出S_n和S_2n，因為此數列為S數列，得到

Sn

S2n

等于常數，設比值等于k，去分母化簡后得到關于n的一個多項式等于0，令其系數和常數項等于0即可求出k和d值，根據首項和公差d寫出該數列的通項公式即可．

解答：解：（Ⅰ）由a_n=4n-2，得a₁=2，d=4，

Sn

S2n

=

2n+ 1 2 n(n-1)4

2n•2+ 1 2 •2n(2n-1)4

=

1

4

，
所以它為S數列；
（Ⅱ）設等差數列{a_n}，公差為d，則

Sn

S2n

=

a1n+ 1 2 n(n-1)d

2a1n+ 1 2 •2n(2n-1)d

=k（常數），
∴2a₁n+n²d-nd=4a₁kn+4n²dk-2nkd，化簡得d（4k-1）n+（2k-1）（2a₁-d）=0①，
由于①對任意正整數n均成立，
則

d(4k-1)=0 (2k-1)(2a1-d)=0

解得：

d=2a1≠0 k= 1 4 .

，
故存在符合條件的等差數列，其通項公式為：a_n=（2n-1）a₁，其中a₁≠0．

點評：此題考查學生靈活運用等差數列的通項公式及前n項和的公式化簡求值，掌握題中的新定義并會利用新定義化簡求值，是一道綜合題．