【題目】設(shè)函數(shù).
(1)試討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)設(shè),記,當(dāng)時(shí),若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根, ,證明.
【答案】(1)見解析;(2)見解析.
【解析】試題分析:
(1)求解函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),分類討論可得:
①若時(shí),當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增;
②若時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增;
③若時(shí),當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增.
(2)構(gòu)造新函數(shù) ,結(jié)合新函數(shù)的性質(zhì)即可證得題中的不等式.
試題解析:
(1)由,可知 .
因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?/span>,所以,
①若時(shí),當(dāng)時(shí), ,函數(shù)單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí), ,函數(shù)單調(diào)遞增;
②若時(shí),當(dāng)在內(nèi)恒成立,函數(shù)單調(diào)遞增;
③若時(shí),當(dāng)時(shí), ,函數(shù)單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí), ,函數(shù)單調(diào)遞增.
(2)證明:由題可知 ,
所以 .
所以當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí), .
欲證,只需證,又,即單調(diào)遞增,故只需證明.
設(shè), 是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)根,不妨設(shè)為,
則
兩式相減并整理得 ,
從而,
故只需證明,
即.
因?yàn)?/span>,
所以(*)式可化為,
即.
因?yàn)?/span>,所以,
不妨令,所以得到, .
記, ,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,因此在單調(diào)遞增.
又,
因此, ,
故, 得證,
從而得證.
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【題目】設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=a,an+1=can+1﹣c(n∈N*),其中a,c為實(shí)數(shù),且c≠0. (Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)設(shè) ,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn .
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【題目】下列關(guān)系式中正確的是( )
A.sin 11°<cos 10°<sin 168°
B.sin 168°<sin 11°<cos 10°
C.sin 11°<sin 168°<cos 10°
D.sin 168°<cos 10°<sin 11°
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(1)試估算該校高三年級(jí)學(xué)生獲得成績?yōu)?/span>的人數(shù);
(2)若等級(jí)、、、、分別對(duì)應(yīng)100分、90分、80分、70分、60分,學(xué)校要求平均分達(dá)90分以上為“考前心理穩(wěn)定整體過關(guān)”,請(qǐng)問該校高三年級(jí)目前學(xué)生的“考前心理穩(wěn)定整體”是否過關(guān)?
(3)為了解心理健康狀態(tài)穩(wěn)定學(xué)生的特點(diǎn),現(xiàn)從、兩種級(jí)別中,用分層抽樣的方法抽取11個(gè)學(xué)生樣本,再從中任意選取3個(gè)學(xué)生樣本分析,求這3個(gè)樣本為級(jí)的個(gè)數(shù)的分布列與數(shù)學(xué)期望.
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【題目】已知圓M的圓心M在x軸上,半徑為1,直線 ,被圓M所截的弦長為 ,且圓心M在直線l的下方.
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(II)設(shè)A(0,t),B(0,t+6)(﹣5≤t≤﹣2),若圓M是△ABC的內(nèi)切圓,求△ABC的面積S的最大值和最小值.
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【題目】已知f(x)=3x2﹣2x,數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn , 點(diǎn)(n,Sn)(n∈N*)均在函數(shù)y=f(x)的圖像上.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn= ,Tn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和,求使得Tn< 對(duì)所有n∈N*都成立的最小正整數(shù)m.
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(1)若l1⊥l2 , 求m的值;
(2)若l1∥l2 , 求m的值.
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