Question

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）試討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）設(shè)，記，當(dāng)時(shí)，若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根， ，證明.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】試題分析：

(1)求解函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分類討論可得：

①若時(shí)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；

②若時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；

③若時(shí)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增.

(2)構(gòu)造新函數(shù) ，結(jié)合新函數(shù)的性質(zhì)即可證得題中的不等式.

試題解析：

（1）由，可知 .

因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?/span>，所以，

①若時(shí)，當(dāng)時(shí)， ，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)， ，函數(shù)單調(diào)遞增；

②若時(shí)，當(dāng)在內(nèi)恒成立，函數(shù)單調(diào)遞增；

③若時(shí)，當(dāng)時(shí)， ，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)， ，函數(shù)單調(diào)遞增.

（2）證明：由題可知 ，

所以 .

所以當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， .

欲證，只需證，又，即單調(diào)遞增，故只需證明.

設(shè)， 是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)根，不妨設(shè)為，

則

兩式相減并整理得 ，

從而，

故只需證明，

即.

因?yàn)?/span>，

所以（*）式可化為，

即.

因?yàn)?/span>，所以，

不妨令，所以得到， .

記， ，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此在單調(diào)遞增.

又，

因此， ，

故， 得證，

從而得證.