Question

已知α、β、γ都是銳角，且cos²α+cos²β+cos²γ=1，求證：tanαtanβtanγ≥2

2

．

Answer 1

分析：α、β、γ都是銳角，可以看做長(zhǎng)方體的一條對(duì)角線（長(zhǎng)為1）與相鄰3個(gè)面的夾角，
用長(zhǎng)方體的一頂點(diǎn)上3條棱abc表示tanα、tanβ、tanγ，再用均值不等式a²+b²≥2ab．

解答：解：通過觀察、聯(lián)想：在長(zhǎng)方體中，a²+b²+c²=l²?(

a

l

)2+(

b

l

)2+(

c

l

)2=1
∵α、β、γ是銳角，∴令

a

l

=cosα，

b

l

=cosβ，

c

l

=cosγ
∴tanα=

b2+c2

a

≥

2 bc

a

，tanβ≥

2 ac

b

，tanγ≥

2 ab

c

，
∴tanαtanβtanγ≥2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題體現(xiàn)了劃歸轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，注意均值不等式a²+b²≥2ab的應(yīng)用．