Question

7．在直角坐標系中，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，點A的極坐標為（4，$\frac{π}{3}$），點B的極坐標為（2$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），曲線C的直角坐標方程為：x²+（y-1）²=1．
（Ⅰ）求曲線C和直線AB的極坐標方程；
（Ⅱ）過點O的射線l交曲線C于M點，交直線AB于N點，若|OM|•|ON|=4，求射線l所在直線的直角坐標方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由x²+y²=ρ²，y=ρsinθ，能求出曲線C的極坐標方程；把點A的極坐標和點B的極坐標都化為直角坐標，求出直線AB的直角坐標方程，由此能求出直線AB的極坐標方程．
（Ⅱ）設(shè)射線l：θ=α，代入曲線C，得：ρ_M=2sinα，代入直線AB，得：ρ_M=$\frac{2}{cosα}$，由|OM|•|ON|=4，得到tanα=1，由此能求出射線l所在直線的直角坐標方程．

解答 解：（Ⅰ）∵曲線C的直角坐標方程為：x²+（y-1）²=1．
∴x²+y²-2y=0，
∵x²+y²=ρ²，y=ρsinθ，
∴曲線C的極坐標方程為ρ²=2ρsinθ，即ρ=2sinθ．
∵點A的極坐標為（4，$\frac{π}{3}$），點B的極坐標為（2$\sqrt{2}$，$\frac{π}{4}$），
∴點A的直角坐標為A（2，2$\sqrt{3}$），點B的直角坐標方程為B（2，2），
∴直線AB的直角坐標方程為x=2，
∴直線AB的極坐標方程為ρcosθ=2．
（Ⅱ）設(shè)射線l：θ=α，代入曲線C，得：ρ_M=2sinα，
代入直線AB，得：ρ_M=$\frac{2}{cosα}$，
∵|OM|•|ON|=4，∴$\frac{2}{cosα}•2sinα=4$，∴tanα=1，
∴射線l所在直線的直角坐標方程為y=x．

點評 本題考查直線、圓的極坐標方程的求法，考查射線的直角坐標方程的求法，考查極坐標方程、直角坐標方程、參數(shù)方程的互化，考查推理論證能力、運算求解能力，考查轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．