Question

在△ABC中，已知角A，B，C滿足2B=A+C，且tanA和tanB是方程x²-λx+λ+1=0的兩根，若△ABC的面積為，試求△ABC的三邊的長(zhǎng)．

Answer 1

解：在△ABC中，
∵角A，B，C滿足2B=A+C，∴B=60°，tanB=．
∵tanA和tanB是方程x²-λx+λ+1=0的兩根，
∴把tanB=代入方程x²-λx+λ+1=0，
解得λ=2．由韋達(dá)定理有tanA•tanB=λ+1=2，
∴tanA==2+，
∴tanC=-tan（A+B）
=-
=
=1．
∴C=45°，A=75°．∴a：b：c=sin75°：sin60°：sin45°=（）：2：2．
設(shè)，，，
∵△ABC的面積為，
∴，
即，
解得k=1，
∴．
分析：在△ABC中，由角A，B，C滿足2B=A+C，知B=60°，tanB=．由tanA和tanB是方程x²-λx+λ+1=0的兩根，把tanB=代入方程x²-λx+λ+1=0，解得λ=2．由韋達(dá)定理有tanA•tanB=2，知tanA=2+，tanC=-tan（A+B）=1．故C=45°，A=75°．由此利用若△ABC的面積為，能求出△ABC的三邊的長(zhǎng)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查解三角形在生產(chǎn)實(shí)際中的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強(qiáng)，是高考的重點(diǎn)，易錯(cuò)點(diǎn)是知識(shí)體系不牢固．解題時(shí)要注意三角形加法定理和正弦定理的靈活運(yùn)用．