Question

已知函數(shù)f（x）=x³-x²-x+a．
（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程；
（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（I）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得到切線的斜率，進(jìn)而得出切線的方程；
（II）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值，函數(shù)y=f（x）有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，必需f（x）極大值＜0，或f（x）極小值＞0，解出即可．

解答： 解：（Ⅰ）f′（x）=3x²-2x-1，
∴f′（0）=-1，
當(dāng)a=2時(shí)，f（0）=2．
∴切線方程為y-2=-x，即x+y-2=0．

（Ⅱ）f′（x）=（3x+1）（x-1），
令f′（x）=0，
解得，x=-

1

3

或1．

x	(-∞，- 1 3 )	- 1 3	(- 1 3 ，1)	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大	↘	極小	↗

由表格可知：f（x）極大值是f(-

1

3

)=

5

27

+a，f（x）極小值是f（1）=a-1，
函數(shù)y=f（x）有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，須

5

27

+a＜0，或a-1＞0．
解得a＜-

5

27

或a＞1時(shí)，函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．

點(diǎn)評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義、切線的方程、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值解決函數(shù)y=f（x）有且僅有一個(gè)零點(diǎn)滿足的條件，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．