Question

（2013•深圳二模）2013年4月14日，CCTV財(cái)經(jīng)頻道報(bào)道了某地建筑市場存在違規(guī)使用未經(jīng)淡化海砂的現(xiàn)象．為了研究使用淡化海砂與混凝土耐久性是否達(dá)標(biāo)有關(guān)，某大學(xué)實(shí)驗(yàn)室隨機(jī)抽取了60個(gè)樣本，得到了相關(guān)數(shù)據(jù)如下表：

	混凝土耐久性達(dá)標(biāo)	混凝土耐久性不達(dá)標(biāo)	總計(jì)
使用淡化海砂	25	5	30
使用未經(jīng)淡化海砂	15	15	30
總計(jì)	40	20	60

（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，利用獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法判斷，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過1%的前提下，認(rèn)為使用淡化海砂與混凝土耐久性是否達(dá)標(biāo)有關(guān)？
（2）若用分層抽樣的方法在使用淡化海砂的樣本中抽取了6個(gè)，現(xiàn)從這6個(gè)樣本中任取2個(gè)，則取出的2個(gè)樣本混凝土耐久性都達(dá)標(biāo)的概率是多少？
參考數(shù)據(jù)：

p（K2≥K）	0.10	0.050	0.025	0.010	0.001
k	2.706	3.841	5.024	6.635	10.828

Answer 1

分析：（1）利用2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，計(jì)算出k²，對(duì)性別與喜愛運(yùn)動(dòng)有關(guān)的程度進(jìn)行判斷，
（2）本題是一個(gè)古典概型，試驗(yàn)發(fā)生包含的事件共有15種結(jié)果，設(shè)“取出的2個(gè)樣本混凝土耐久性都達(dá)標(biāo)”為事件A，它的對(duì)立事件

.

A

為“取出的2個(gè)樣本至少有一個(gè)混凝土耐久性不達(dá)標(biāo)”，根據(jù)概率公式得到對(duì)立事件

.

A

的概率，最后根據(jù)對(duì)立事件的概率公式得出結(jié)果．

解答：解：（1）假設(shè)：是否使用淡化海砂與混凝土耐久性是否達(dá)標(biāo)無關(guān)，由已知數(shù)據(jù)可求得：
K²=

60×(25×15-15×5)2

302×40×20

≈7.5＞6.635，
因此，能在犯錯(cuò)誤的概率不超過1%的前提下，認(rèn)為使用淡化海砂與混凝土耐久性是否達(dá)標(biāo)有關(guān)．
（2）用分層抽樣的方法在使用淡化海砂的樣本中抽取了6個(gè)，其中應(yīng)抽取“混凝土耐久性達(dá)標(biāo)”的為

25

30

×6=5，
“混凝土耐久性不達(dá)標(biāo)”的為1．
“混凝土耐久性達(dá)標(biāo)”的記為A₁，A₂，A₃，A₄，A₅，“混凝土耐久性不達(dá)標(biāo)”的記為B．
從這6個(gè)樣本中任取2個(gè)，有C

2 6

=15可能，
設(shè)“取出的2個(gè)樣本混凝土耐久性都達(dá)標(biāo)”為事件A，
它的對(duì)立事件

.

A

為“取出的2個(gè)樣本至少有一個(gè)混凝土耐久性不達(dá)標(biāo)”，包含（A₁，B），（A₂，B），
（A₃，B），（A₄，B），（A₅，B）共5種可能，
所以 P（A）=1-P（

.

A

）=1-

5

15

=

2

3

．
則取出的2個(gè)樣本混凝土耐久性都達(dá)標(biāo)的概率是

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題把概率的求法，列聯(lián)表，獨(dú)立性檢驗(yàn)等知識(shí)有機(jī)的結(jié)合在一起，是一道綜合性題目，但題目難度不大，符合新課標(biāo)對(duì)本部分的要求，是道好題．