Question

已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸的正半軸上，F(xiàn)為焦點(diǎn)，A，B，C為拋物線上的三點(diǎn)，且滿足

FA

+

FB

+

FC

=

0

，|

FA

|+|

FB

|+|

FC

|=6，則拋物線的方程為

 

．

Answer 1

分析：設(shè)向量

FA

，

FB

，

FC

的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁）（x₂，y₂）（x₃，y₃）則可知x₁+x₂+x₃=0，進(jìn)而表示出A，B，C三點(diǎn)的橫坐標(biāo)，根據(jù)拋物線定義可分別表示出|FA|，|FB|和|FC|，進(jìn)而根據(jù)|

FA

|+|

FB

|+|

FC

|=6，求得p，則拋物線方程可得．

解答：解：設(shè)向量

FA

，

FB

，

FC

的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁）（x₂，y₂）（x₃，y₃）由

FA

+

FB

+

FC

=

0

得x₁+x₂+x₃=0
∵X_A=x₁+

p

2

，同理X_B=x₂+

p

2

，X_C=x₃+

p

2

∴|FA|=x₁+

p

2

+

p

2

=x₁+p，同理有|FB|=x₂+

p

2

+

p

2

=x₂+p，|FC|=x₃+

p

2

+

p

2

=x₃+p，
又|

FA

|+|

FB

|+|

FC

|=6，
∴x₁+x₂+x₃+3p=6，
∴p=2，
∴拋物線方程為y²=4x．
故答案為：y²=4x．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和拋物線定義的運(yùn)用．涉及了向量的運(yùn)算，考查了學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力．