（04年北京卷文）(14分)

如圖,在正三棱柱ABC－A1B1C1中,AB=2,AA1=2,由頂點B沿棱柱側面經(jīng)過棱AA1到頂點C1的最短路線與AA1的交點記為M.求:

(Ⅰ)三棱柱的側面展開圖的對角線長;

(Ⅱ)該最短路線的長及的值;

(Ⅲ)平面C1MB與平面ABC所成二面角(銳角)的大小.

解析：(Ⅰ)正三棱柱ABC―A1B1C1的側面展開圖是長為6,寬為2的矩形,其對角線長為

(Ⅱ)如圖,將側面AA1B1B繞棱AA1旋轉120º使其

   側面AA1C1C在同一平面上,點B運動到點D的位置,連接DC1交AA1于M,

  則DC1就是由頂點B沿棱柱側面經(jīng)過棱AA1到頂點C1的最短路線,其長為

 ∵   ∴AM=A1M,故

 (Ⅲ)連接DB,C1B,則DB就是平面C1MB與平面ABC的交線.在ΔDCB中,

∵∴CB⊥DB,

又C1C⊥平面CBD,

由三垂線定理得C1B⊥DB.

 ∴∠C1BC就是平面C1MB與平面ABC所成二面角的平面角(銳角).

∵側面C1B1BC是正方形,

∴∠C1BC=45º.

     故平面C1MB與平面ABC所成的二面角(銳角)為45º.      (14分)

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