Question

已知函數(shù)f（x）=2x³+ax²+bx+3在x=-1和x=2處取得極值．
（1）求f（x）的表達式和極值．
（2）若f（x）在區(qū)間[m，m+4]上是單調(diào)函數(shù)，試求m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵f′（x）=6x²+2ax+b
∴即
解得

∴f（x）=2x³-3x²-12x+3
f′（x）=6x²-6x-12
f′（x）＞0解得x＜-1或x＞2
由f′（x）＜0解得-1＜x＜2
故函數(shù)f（x）在（-∞，-1）和（2，+∞）遞增，函數(shù)在（-1，2）遞減
所以當x=-1時，有極大值10；當x=2時，有極小值-17
（2）由（1）知，若f（x）在區(qū)間[m，m+4]上是單調(diào)函數(shù)，需
m+4≤-1或或m≥2
所以m≤-5或m≥2
分析：（1）求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)在極值點處的值為0，列出方程組，求出a，b，代入f（x）和f′（x）；令f′（x）＞0求出x的范圍即為遞增區(qū)間，令f′（x）＜0求出x的范圍為遞減區(qū)間，并利用極值的定義求出極值．
（2）根據(jù)題意，令[m，m+4]在（-∞，-1）內(nèi)或在（2，+∞）內(nèi)或在（-1，2）內(nèi)，列出不等式組，求出m的范圍．
點評：本題考查函數(shù)在極值點處的導(dǎo)數(shù)值為0、考查利用導(dǎo)函數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性、考查極值的求法、考查函數(shù)在其單調(diào)區(qū)間的子集上都是單調(diào)的．