Question

【題目】已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)是等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，且長軸長為4．

求橢圓E的方程；

若A是橢圓E的左頂點(diǎn)，經(jīng)過左焦點(diǎn)F的直線l與橢圓E交于C，D兩點(diǎn)，求與為坐標(biāo)原點(diǎn)的面積之差絕對值的最大值．

已知橢圓E上點(diǎn)處的切線方程為，T為切點(diǎn)若P是直線上任意一點(diǎn)，從P向橢圓E作切線，切點(diǎn)分別為N，M，求證：直線MN恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】(1)；(2)；(3)

【解析】

由題意可知：，，根據(jù)橢圓的性質(zhì)：，即可求得a和b的值，求得橢圓方程；由題意設(shè)直線方程，，將直線方程代入橢圓方程，根據(jù)韋達(dá)定理求得，根據(jù)三角形的面積公式，分類，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，根據(jù)基本不等式的關(guān)系，即可求得的最大值為，設(shè)點(diǎn)，切點(diǎn)，，由可知兩切線方程PM，PN的方程，同去利用P點(diǎn)在切線PM，PN上，從而直線MN方程為，從而問題解決．

由題意得又，，所以，．

所以橢圓E的方程為．

設(shè)的面積為，的面積為．

當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，直線方程為．

據(jù)橢圓對稱性，得，面積相等，所以．

當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，設(shè)，

聯(lián)立方程組，消由得，則．

所以．

又因?yàn)?/span>，當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)取“”．

所以的最大值為．

證明：設(shè)，，

由已知得切線切線，

把代入得，．

從而直線MN方程為，即．

對，當(dāng)，時(shí)恒成立，恒過定點(diǎn)．