Question

如圖，在三棱柱中，．

（1）求證：；
（2）若 ，在棱上確定一點(diǎn)P， 使二面角的平面角的余弦值為．

Answer 1

（1）詳見解析; （2）P為棱的中點(diǎn).

試題分析：（1）要證，可轉(zhuǎn)化為去證明垂直于含有的平面，再由題中所給線面垂直，結(jié)合面面垂直的判定定理，可以判斷得出，最后結(jié)合面面垂直的性質(zhì)定理，由題中所給線線垂直，可以得到，進(jìn)而不難證得;（2）由題意可知點(diǎn)處可以構(gòu)造出三條線兩兩垂直，故可選擇以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，這樣圖中的坐標(biāo)，由點(diǎn)在線段上，可轉(zhuǎn)化為從而用一個(gè)變量表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出這兩個(gè)平面的法向量，運(yùn)用向量數(shù)量積公式可計(jì)算出這兩個(gè)法向量的夾角的余弦值，并由此而求出的值，從而確定出點(diǎn)的位置．
試題解析：（1）在三棱柱中，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824030147799656.png" style="vertical-align:middle;" />，平面，所以平面平面，                 （2分）
因?yàn)槠矫?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824030147861578.png" style="vertical-align:middle;" />平面，，所以平面，所以. （4分）
（2）設(shè)平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824030148049799.png" style="vertical-align:middle;" />，，
即所以
令得，                    （10分）
而平面的一個(gè)法向量是，
則，解得，即P為棱的中點(diǎn). （12分）