Question

雙曲線-=1的虛軸端點(diǎn)與一個(gè)焦點(diǎn)連線的中點(diǎn)在與此焦點(diǎn)對應(yīng)的準(zhǔn)線上，PQ是雙曲線的一條垂直于實(shí)軸的弦，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．則•等于

1. A.
   0
2. B.
   a²
3. C.
   -a²
4. D.
   2a²

Answer 1

B
分析：首先根據(jù)雙曲線虛軸端點(diǎn)與一個(gè)焦點(diǎn)連線的中點(diǎn)在與此焦點(diǎn)對應(yīng)的準(zhǔn)線上，運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式和準(zhǔn)線方程表達(dá)式，計(jì)算出c²=2a²，從而得到a²=b²，雙曲線方程為-=1．然后可以設(shè)出垂直于實(shí)軸的弦PQ端點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式結(jié)合雙曲線方程進(jìn)行化簡，可得則•等于a²．
解答：解：設(shè)A（0，-b）為虛軸的一個(gè)端點(diǎn)，F(xiàn)（c，0）是雙曲線的右焦點(diǎn)
∵虛軸端點(diǎn)與一個(gè)焦點(diǎn)連線的中點(diǎn)在與此焦點(diǎn)對應(yīng)的準(zhǔn)線上
∴AF中點(diǎn)G在右準(zhǔn)線：x=上
∴??c²=2a²
∵c²=a²+b²
∴a²=b²?雙曲線方程為-=1
∵PQ是雙曲線的一條垂直于實(shí)軸的弦
∴可以設(shè)P（x₀，y₀），Q（x₀，-y₀）
且?
由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式得：
•=x₀•x₀+y₀•（-y₀）=
故選B
點(diǎn)評：本題以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單性質(zhì)為載體，著重考查了向量的數(shù)量積和雙曲線的基本概念等知識(shí)點(diǎn)，考查了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．