Question

設(shè)d為實數(shù)，d≠0且d≠-1，數(shù)列{a_n}中a₁=d，當n≥2時，a_n=C

0 n-1

d+C

1 n-1

d²+…+C

n-2 n-1

d^n-1+C

n-1 n-1

dⁿ；數(shù)列{b_n}的前n項和S_n=

1

2

n²+

1

2

n．
（Ⅰ）求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）求證：數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列；
（Ⅲ）若d=1，求證：

b1

a2+b1

+

b2

a3+b2

+…+

bn

an+1+bn

＜2．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,二項式定理

分析：（Ⅰ）利用遞推關(guān)系式直接求出數(shù)列的通項公式．
（Ⅱ）根據(jù)二項式定理，進一步求出數(shù)列是等比數(shù)列．
（Ⅲ）利用上步接結(jié)論，首先求出數(shù)列an=d(1+d)n-1，在進一步求出數(shù)列

bn

an+1+bn

=

n

2n

，
再利用乘公比錯位相減法求數(shù)列的和，最后用放縮法求出結(jié)果．

解答： 解：（Ⅰ）數(shù)列{b_n}的前n項和S_n=

1

2

n²+

1

2

n①．
則：Sn-1=

1

2

(n-1)2+

1

2

(n-1)②
①-②得：bn=

1

2

n2+

1

2

n-

1

2

(n-1)2-

1

2

(n-1）
整理得：b_n=n
所以：數(shù)列{b_n}的通項公式為：b_n=n
證明：（Ⅱ）設(shè)d為實數(shù)，d≠0且d≠-1，數(shù)列{a_n}中a₁=d，
當n≥2時，a_n=C

0 n-1

d+C

1 n-1

d²+…+C

n-2 n-1

d^n-1+C

n-1 n-1

dⁿ；
則：數(shù)列{a_n}的通項公式為：an=d(1+d)n-1
當n=1時，a₁=d
所以：數(shù)列{a_n}是以d為首項，（d+1）為公比的等比數(shù)列．
an=d(1+d)n-1
證明：（Ⅲ）若d=1，
所以：

bn

an+1+bn

=

n

2n

則：

b1

a2+b1

+

b2

a3+b2

+…+

bn

an+1+bn

=

1

21

+

2

22

+…+

n

2n

則設(shè) Sn=

1

21

+

2

22

+…+

n

2n

③
所以：

1

2

Sn=

1

22

+

2

23

+…+

n

2n+1

④\
③-④得：
Sn=2-2(

1

2

)n-

2

2n

＜2

點評：本題考查的知識要點：數(shù)列通項公式的求法，二項式定理的應(yīng)用，乘公比錯位相減法的應(yīng)用，放縮法的應(yīng)用．屬于基礎(chǔ)題型．