已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1
的右焦點是F,右頂點是A,虛軸的上端點是B,且
AB
AF
=-1
,∠BAF=120°.
(1)求雙曲線C的方程;
(2)過點P(0,4)的直線l交雙曲線C于M、N兩點,交x軸于點Q(點Q與雙曲線C的頂點不重合),當(dāng)
PQ
=λ1
OM
=λ2
ON
,且λ1+λ2=-
32
7
時,求點Q的坐標(biāo).
(Ⅰ)由條件知A(a,0),B(0,b)F(c,0).
AB
AF
=(-a,b)•(c-a,0)=a(a-c)=-1
.①
cosBAF=
AB
AF
|
AB
|•|
AF
|
=
a(a-c)
c(c-a)
=-
a
c
=cos120°=-
1
2
.∴c=2a.②
解①,②得a=1,c=2.則b2=c2-a2=3.
故雙曲線C的方程為x2-
y2
3
=1

(Ⅱ)由題意知直線l的斜率k存在且不等于零,
設(shè)l的方程為:y=kx+4,M(x1,y1),N(x2,y2),則Q(-
4
k
,0)

PQ
=λ1
QM

(-
4
k
•-4)=λ1(x1+
4
k
,y1)

-
4
k
=λ1(x1+
4
k
)
-4=λ1y1.
?
x1=-
4
kλ1
-
4
k
y1=-
4
λ1

∵M(jìn)(x1,y1)在雙曲線C上,
16
k2
(
1+λ1
λ1
)2-
16
3
λ21
-1=0

16+32λ1+16
λ21
-
16
3
k2-k2λ2=0

(16-k2)
λ21
+32λ1+16-
16
3
k2=0

同理(16-k2)
λ22
+32λ2+16-
16
3
k2-0

若16-k2=0,則直線l過項點,不合題意,∴16-k2≠0
λ1,λ2是二次方程(16-k2)x2+32x+16-
16
3
k2=0
的兩根
λ1+λ2=
32
k2-16
=-
32
7

∴k2=9,此時△>0,∴k=±3.
∴所求Q點的坐標(biāo)為
4
3
,0)
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知雙曲線
x2
a2
-
y2
7
=1
,直線l過其左焦點F1,交雙曲線的左支于A、B兩點,且|AB|=4,F(xiàn)2為雙曲線的右焦點,△ABF2的周長為20,則此雙曲線的離心率e=
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1
的一個焦點與拋物線y2=4x的焦點重合,且該雙曲線的離心率為
5
,則該雙曲線的漸近線方程為( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(b>a>0)
,O為坐標(biāo)原點,離心率e=2,點M(
5
,
3
)
在雙曲線上.
(1)求雙曲線的方程;
(2)若直線l與雙曲線交于P,Q兩點,且
OP
OQ
=0
.問:
1
|OP|2
+
1
|OQ|2
是否為定值?若是請求出該定值,若不是請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)已知直線l:kx-y+1+2k=0(k∈R),則該直線過定點
(-2,1)
(-2,1)

(2)已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1的一條漸近線方程為y=
4
3
x,則雙曲線的離心率為
5
3
5
3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1
(a>0,b>0)滿足
a1
b
2
 |=0
,且雙曲線的右焦點與拋物線y2=4
3
x
的焦點重合,則該雙曲線的方程為
 

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