Question

已知負數(shù)a₁和正數(shù)b₁，且對任意的正整數(shù)n，當≥0時，有[a_n+1，b_n+1]=[a_n，]；當＜0時，有[a_n+1，b_n+1]=[，b_n]．
（1）求證數(shù)列{b_n-a_n}是等比數(shù)列；
（2）若a₁=-1，b₁=2，求證a_2n=-2b_2n（n∈N^*）；
（3）是否存在a₁，b₁，使得數(shù)列{a_n}為常數(shù)數(shù)列？請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證數(shù)列{b_n-a_n}是等比數(shù)列，只需證明由已知≥0，可得b_n+1-a_n+1=-a_n=；＜0，b_n+1-a_n+1=b_n-=，總有b_n+1-a_n+1=（b_n-a_n），從而可得數(shù)列{b_n-a_n}是等比數(shù)列
（2）利用數(shù)學歸納法：①由a₁=-1，b₁=2，可得，故有，則有，a₂=a₁=-1，從而a₂=-2b₂，可得n=1時，a_2n=-2b_2n成立．
②假設當n=k時，a_2n=-2b_2n成立，即a_2k=-2b_2k，證明n=k+1時命題成立
（3）假設存在a₁，b₁，使得數(shù)列{a_n}為常數(shù)數(shù)列，結(jié)合（1）可得b_n-a_n=（b₁-a₁）（）^n-1，由假設可得a_n=a₁，
故b_n=a₁+（b₁-a₁）（）^n-1由a_n+1=a_n恒成立，可知≥0，即a₁+（b₁-a₁）（）ⁿ≥0恒成立，
即2ⁿ≤?n≤對任意的正整數(shù)n恒成立，求解此時的n的值是否存在
解答：解：（1）當≥0時，b_n+1-a_n+1=-a_n=；
當＜0，b_n+1-a_n+1=b_n-=．
所以，總有b_n+1-a_n+1=（b_n-a_n），
又b₁＞0，a₁＜0，可得b₁-a₁＞0，
所以數(shù)列{b_n-a_n}是等比數(shù)列．（4分）
（2）①由a₁=-1，b₁=2，可得，
故有，
∴，a₂=a₁=-1，從而a₂=-2b₂，
故當n=1時，a_2n=-2b_2n成立．（6分）
②假設當n=k時，a_2n=-2b_2n成立，即a_2k=-2b_2k，
由b_2k-a_2k=3b_2k＞0，可得b_2k＞0，，
故有，
∴，（9分）
，
故有
∴，，
故a_2（k+1）=-2b_2（k+1）
∴當n=k+1時，a_2n=-2b_2n成立．
綜合①②可得對一切正整數(shù)n，都有a_2n=-2b_2n．（12分）
（3）假設存在a₁，b₁，使得數(shù)列{a_n}為常數(shù)數(shù)列，
由（1）可得b_n-a_n=（b₁-a₁）（）^n-1，又a_n=a₁，
故b_n=a₁+（b₁-a₁）（）^n-1，（14分）
由a_n+1=a_n恒成立，可知≥0，即a₁+（b₁-a₁）（）ⁿ≥0恒成立，
即2ⁿ≤對任意的正整數(shù)n恒成立，（16分）
又是正數(shù)，
故n≤對任意的正整數(shù)n恒成立，
因為是常數(shù)，
故n≤不可能對任意正整數(shù)n恒成立．
故不存在a₁，b₁，使得數(shù)列{a_n}為常數(shù)數(shù)列．（18分）
點評：（1）要證明數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，利用定義法只需證明
（2）利用數(shù)學歸納法證明與數(shù)列有關(guān)的命題是數(shù)列部分難度較大的試題，需要考試有一定的邏輯推理能力．