Question

某公司生產(chǎn)2010年上海世博會的科技紀(jì)念品，已知生產(chǎn)x（x∈N^*）萬件紀(jì)念品的收入函數(shù)為（單位：萬元），其成本由固定成本和可變成本兩部分構(gòu)成，其中固定成本為5萬元，可變成本與生產(chǎn)的紀(jì)念品的件數(shù)x成正比，又知該公司生產(chǎn)10萬件產(chǎn)品時，花費的可變成本為20萬元．（利潤=收入-成本）
（1）求利潤函數(shù)P（x）；
（2）當(dāng)生產(chǎn)多少萬件紀(jì)念品時，該公司能夠取得最大利潤？并求出最大利潤．

Answer 1

解：（1）設(shè)該公司生產(chǎn)紀(jì)念品的可變成本為S（x）由題意可設(shè) S（x）=kx（k＞0）
又知該公司生產(chǎn)10萬件產(chǎn)品時，花費的可變成本為20萬元
所以 20=10k得 k=2
由其固定成本為5萬元，得
該公司的成本函數(shù)C（x）=2x+5…
因為收入函數(shù)為
所以，當(dāng)0＜x＜9時，利潤函數(shù)P（x）=R（x）-C（x）==
當(dāng)9≤x≤15時，利潤函數(shù)P（x）=R（x）-C（x）=（-x²+16x-39）-（2x+5）=-x²+14x-44
所以該公司生產(chǎn)紀(jì)念品的利潤函數(shù)為…
（2）當(dāng)0＜x＜9時，=
因為0＜x＜9，x∈N^*
所以，當(dāng)即x=4時，P（x）的最大值為3萬元；…
當(dāng)9≤x≤15時，P（x）=-x²+14x-44=-（x-7）²+5在區(qū)間[9，15]為減函數(shù)，
當(dāng)x=9時，P（x）=1…
所以，當(dāng)9≤x≤15時，P（x）最大值為1萬元．
答：當(dāng)x=4萬件時，利潤的最大值為3萬元．…
分析：（1）先求出公司的成本函數(shù)C（x），然后潤函數(shù)P（x）=R（x）-C（x）分段進行求解即可；
（2）分段分別求出函數(shù)的最大值，由利潤函數(shù)是二次函數(shù)或可轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)，可以利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)取最大值時對應(yīng)的自變量x的值．
點評：本題在正確理解利潤函數(shù)的基礎(chǔ)上，運用二次函數(shù)的性質(zhì)，解決實際應(yīng)用問題，解題的關(guān)鍵是分段函數(shù)需分段求，屬于基礎(chǔ)題．