Question

【題目】已知橢圓E： + =1（a＞b＞0）過點（0，1），且離心率為 ．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設直線l：y= +m與橢圓E交于A、C兩點，以AC為對角線作正方形ABCD，記直線l與x軸的交點為N，問B，N兩點間距離是否為定值？如果是，求出定值；如果不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意可知：橢圓的焦點在x軸上，過點（0，1），則b=1，
由橢圓的離心率e= = = ，則a=2，
∴橢圓的標準方程為： ；
（Ⅱ）設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），線段中點M（x0 ， y0），
則 ，整理得：x2+2mx+2m2﹣2=0，
由△=（2m）2﹣4（2m2﹣2）=8﹣4m2＞0，解得：﹣ ＜m＜ ，
則x1+x2=﹣2m，x1x2=2m2﹣2，則M（﹣m， m），
丨AC丨= = =
由l與x軸的交點N（﹣2m，0），
則丨MN丨= = ，
∴丨BN丨2=丨BM丨2+丨MN丨2= 丨AC丨2+丨MN丨2= ，
∴B，N兩點間距離是否為定值
【解析】（Ⅰ）由題意可知b=1，e= = = ，即可求得a的值，求得橢圓方程；（Ⅱ）將直線方程代入橢圓方程，利用韋達定理及弦長公式求得丨AC丨及丨MN丨，丨BN丨2= 丨AC丨2+丨MN丨2= ，即可求得B，N兩點間距離是否為定值．
【考點精析】掌握橢圓的標準方程是解答本題的根本，需要知道橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：．