Question

設(shè)復(fù)數(shù)z₁=2sinθ+cosθ（

π

4

＜θ＜

π

2

）在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)向量

OZ1

，將

OZ1

按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)

3π

4

后得到向量

OZ2

，

OZ2

對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為z₂=r（cosφ+isinφ），則tanφ=

 

．

Answer 1

分析：先把復(fù)數(shù)z₁ 化為三角形式，再根據(jù)題中的條件求出復(fù)數(shù)z₂，將求出的復(fù)數(shù) z₂和已知的復(fù)數(shù) z₂作對(duì)照，可得cos∅=cos（

5

4

π+β ），sin∅=sin（

5

4

π+β），可求tan∅，再把tanβ=

cosθ

2sinθ

 代入化簡(jiǎn)．

解答：解：∵復(fù)數(shù)z₁=2sinθ+icosθ （ 0＜θ＜

π

2

） 的模為 

(2 sinθ)2+cos2θ

=

1+3sin2θ

，
∴復(fù)數(shù)z₁=

1+3sin2θ

（ 

2sinθ

1+3sin2θ

+i

cosθ

1+ 3sin2θ

）=

1+3sin2θ

（cosβ+i sinβ）
其中，cosβ=

2sinθ

1+3sin2θ

，sinβ=

cosθ

1+ 3sin2θ

，β為銳角，∴tanβ=

cosθ

2sinθ

，
∴z₂ =

1+3sin2θ

•（cos（β-

3π

4

）+i sin（β-

3π

4

））
=

1+3sin2θ

•（cos（2π+β-

3π

4

）+i sin（2π+β-

3π

4

））=

1+3sin2θ

•（cos（

5

4

π+β ）+isin（

5

4

π+β）），

又已知復(fù)數(shù) z₂=r（cos∅+isin∅），∴cos∅=cos（

5

4

π+β ），sin∅=sin（

5

4

π+β），
∴tan∅=

sin∅

cos∅

=

sin( 5π 4 +β)

cos( 5π 4 +β)

=tan（

5π

4

+β）=tan（

π

4

+β）=

1+tanβ

1-tanβ

=

1+ cosθ 2sinθ

1- cosθ 2sinθ

=

2sinθ+cosθ

2sinθ-cosθ

 
=

2tanθ+1

2tanθ-1

，
故答案為：

2tanθ+1

2tanθ-1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查復(fù)數(shù)的三角形式，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，以及利用棣莫弗定理進(jìn)行復(fù)數(shù)三角形式的運(yùn)算．