Question

已知函數(shù)f（x）滿(mǎn)足f(ax-1)=lg

x+2

x-3

(a≠0)．
（1）求f（x）的表達(dá)式；
（2）求f（x）的定義域；
（3）判定f（x）的奇偶性與實(shí)數(shù)a之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）令ax-1=t則x=

t+1

a

，再利用條件：“f(ax-1)=lg

x+2

x-3

(a≠0)”將其中的ax-1用t進(jìn)行代換即可得出f（t），從而得出f（x）的表達(dá)式；
（2）對(duì)a進(jìn)行分類(lèi)討論：a＞0時(shí)，a＜0時(shí)，再利用對(duì)數(shù)的真數(shù)為正數(shù)即可得出函數(shù)的定義域；
（3）利用 （1）求得的函數(shù)的定義域，當(dāng)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)時(shí)a=2，此時(shí)f(x)=lg

x+5

x-5

為奇函數(shù)；當(dāng)a≠0且a≠2時(shí)，f（x）的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，f（x）為非奇非偶函數(shù)．

解答：解：（1）設(shè)ax-1=t則x=

t+1

a

，
由于f(ax-1)=lg

x+2

x-3

(a≠0)，
∴f(t)=lg

t+1 a +2

t+1 a -3

=lg

t+1+2a

t+1-3a

，
從而f(x)=lg

x+1+2a

x+1-3a

（4分）
（2）a＞0時(shí)，

x+1+2a

x+1-3a

＞0⇒x∈（-∞，-2a-1）∪（3a-1，+∞），
即函數(shù)的定義域?yàn)椋?∞，-2a-1）∪（3a-1，+∞），
a＜0時(shí)，

x+1+2a

x+1-3a

＞0⇒x∈（-∞，3a-1）∪（-2a-1，+∞）． 
即定義域?yàn)椋?∞，3a-1）∪（-2a-1，+∞）．    （8分）
（3）當(dāng)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)時(shí)a=2，此時(shí)f(x)=lg

x+5

x-5

（10分）
∵f(-x)=lg

x-5

x+5

=-f(x)，∴f（x）為奇函數(shù)，（13分）
當(dāng)a≠0且a≠2時(shí)，f（x）的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
故f（x）為非奇非偶函數(shù)．                             （15分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)解析式的求解及常用方法、函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、函數(shù)奇偶性、不等式的解法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．