Question

【題目】過點(diǎn)（0，2）的直線l與中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上且離心率為 的橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，直線 過線段AB的中點(diǎn)，同時(shí)橢圓C上存在一點(diǎn)與右焦點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱．
（1）求直線l的方程；
（2）求橢圓C的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：由e= = ，得 ，從而a2=2b2，c=b，

設(shè)橢圓方程為x2+2y2=2b2，A（x1，y1），B（x2，y2）在橢圓上，

則x12+2y12=2b2，x22+2y22=2b2，兩式相減得，（x12﹣x22）+2（y12﹣y22）=0，

=﹣

設(shè)AB中點(diǎn)為（x0，y0），則kAB=﹣

又（x0，y0），在直線 上， ，于是：

kAB=﹣ =﹣1，則直線l的方程為y=﹣x+2

（2）解：右焦點(diǎn)（b，0）關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)設(shè)為：（x′，y′），

則 解得 ，

由點(diǎn)（2，2﹣b）在橢圓上，得4+2（2﹣b）2=2b2，b2= ，a2= ，

∴所求橢圓C的方程的方程為：

【解析】本題求直線l的方程關(guān)鍵在于求直線的斜率，根據(jù)題意設(shè)出橢圓方程，并設(shè)出點(diǎn)A，B及線段AB中點(diǎn)的坐標(biāo)，利用點(diǎn)A，B在橢圓上得到用線段AB中點(diǎn)坐標(biāo)表示的直線l的斜率，結(jié)合該中點(diǎn)在直線上即可求得直線l的斜率；（2）橢圓C上存在一點(diǎn)與右焦點(diǎn)關(guān)于直線l對(duì)稱，那么右焦點(diǎn)與其對(duì)稱點(diǎn)所在的直線與直線l互相垂直即兩直線斜率積為-1，而且右焦點(diǎn)與其對(duì)稱點(diǎn)組成的線段的中點(diǎn)在直線l上.
【考點(diǎn)精析】掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是解答本題的根本，需要知道橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸：，焦點(diǎn)在y軸：．