Question

18．已知定義在R上函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f'（x），且$f（x）+f'（x）=\frac{2x-1}{e^x}$，若f（0）=0，則函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（　　）

• A． $（{-∞，\frac{{3-\sqrt{5}}}{2}}）$和$（{\frac{{3+\sqrt{5}}}{2}，+∞}）$
• B． $（{\frac{{3-\sqrt{5}}}{2}，\frac{{3+\sqrt{5}}}{2}}）$
• C． $（{-∞，3-\sqrt{5}}）$和 $（{3+\sqrt{5}，+∞}）$
• D． $（{3-\sqrt{5}，3+\sqrt{5}}）$

Answer 1

分析 先構(gòu)造函數(shù)設(shè)g（x）=e^xf（x），再求導(dǎo)，得到g′（x）=2x+1，根據(jù)f（0）=0，求出g（x），即可求出f（x），再根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性即可求出答案．

解答 解：由$f（x）+f'（x）=\frac{2x-1}{e^x}$，得e^x（f（x）+f′（x））=2x-1，
設(shè)g（x）=e^xf（x），
∴g′（x）=e^x（f（x）+f′（x））=2x-1，
可設(shè)g（x）=x²-x+c，
∵f（0）=0，
∴g（0）=0，
∴c=0，
∴g（x）=x²-x，
∴f（x）=$\frac{g（x）}{{e}^{x}}$=$\frac{{x}^{2}-x}{{e}^{x}}$，
∴f′（x）=$\frac{-{x}^{2}+3x-1}{{e}^{x}}$，
當(dāng)f′（x）≤0時，即-x²+3x-1≤0，解得x≤$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$或x≥$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，
故選：A

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，關(guān)鍵時構(gòu)造函數(shù)，屬于中檔題．