Question

已知曲線C₁的極坐標(biāo)方程是ρ=

2

，曲線C₂的參數(shù)方程是

x=1 y=2tsinθ+ 1 2

(t＞0，θ∈[

π

6

，

π

2

]，θ是參數(shù)）．
（1）寫出曲線C₁的直角坐標(biāo)方程和曲線C₂的普通方程；
（2）求t的取值范圍，使得C₁，C₂沒有公共點．

Answer 1

分析：（1）把曲線C₁的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程是x²+y²=2，把曲線C₂的參數(shù)方程化為普通方程是x=1(t+

1

2

≤y≤2t+

1

2

)．
（2）結(jié)合圖象，根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系可得，當(dāng)且僅當(dāng)

t＞0 t+ 1 2 ＞1

或

t＞0 2t+ 1 2 ＜1

時，C₁，C₂沒有公共點，由此求得t的取值范圍．

解答：解：（1）曲線C₁的直角坐標(biāo)方程是x²+y²=2，表示以原點（0，0）為圓心，半徑等于

2

 的圓．
曲線C₂的普通方程是x=1(t+

1

2

≤y≤2t+

1

2

)，表示一條垂直于x軸的線段，包括端點． …（5分）
（2）結(jié)合圖象，根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系可得，當(dāng)且僅當(dāng)

t＞0 t+ 1 2 ＞1

或

t＞0 2t+ 1 2 ＜1

時，C₁，C₂沒有公共點，
解得0＜t＜

1

4

或t＞

1

2

，即t的取值范圍為 （0，

1

4

）∪（

1

2

，+∞）．…（10分）

點評：本題主要考查把參數(shù)方程化為普通方程、把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法，直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．