Question

在極坐標(biāo)系Ox中，直線C₁的極坐標(biāo)方程為ρsinθ=2，M是C₁上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P在射線OM上，且滿(mǎn)足|OP|•|OM|=4，記點(diǎn)P的軌跡為C₂．
（Ⅰ）求曲線C₂的極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）求曲線C₂上的點(diǎn)到直線ρcos（θ+

π

4

）=

2

距離的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)出M、P的極坐標(biāo)，由|OP|•|OM|=4，即M、P的極徑之積等于4得到兩點(diǎn)的極坐標(biāo)的關(guān)系，把M的極坐標(biāo)用P的極坐標(biāo)表示，代入直線C₁的極坐標(biāo)方程即可得到曲線C₂的極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）化極坐標(biāo)方程為普通方程，由點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到直線的距離，與圓的半徑作和可求曲線C₂上的點(diǎn)到直線ρcos（θ+

π

4

）=

2

距離的最大值．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)P（ρ₁，θ），M（ρ₂，θ），
由|OP|•|OM|=4，得ρ₁ρ₂=4，即ρ2=

4

ρ1

．
∵M(jìn)是C₁上任意一點(diǎn)，∴ρ₂sinθ=2，即

4

ρ1

sinθ=2，ρ₁=2sinθ．
∴曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρ=2sinθ；
（Ⅱ）由ρ=2sinθ，得ρ²=2ρsinθ，即x²+y²-2y=0．
化為標(biāo)準(zhǔn)方程x²+（y-1）²=1．
則圓心坐標(biāo)為（0，1），半徑為1．
由直線ρcos（θ+

π

4

）=

2

，得：ρcosθcos

π

4

-ρsinθsin

π

4

=

2

．
即：x-y=2．
圓心（0，1）到直線x-y=2的距離為d=

|0×1+1×(-1)-2|

2

=

3 2

2

．
∴曲線C₂上的點(diǎn)到直線ρcos（θ+

π

4

）=

2

距離的最大值為1+

3 2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程，考查了直線與圓的位置關(guān)系，訓(xùn)練了點(diǎn)到直線的距離公式，是基礎(chǔ)的計(jì)算題．