Question

12．如圖，在四棱錐P-ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90°，PA=PD，AB⊥PA，AD=2，AB=BC=1
（Ⅰ）求證：AB⊥PD
（Ⅱ）若E為PD的中點，求證：CE∥平面PAB
（Ⅲ）設(shè)平面PAB∩平面PCD=PM，點M在平面ABCD上．當PA⊥PD時，求PM的長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由AB⊥AD，又AB⊥PA，可證線面垂直AB⊥平面PAD，利用線面垂直的性質(zhì)可證AB⊥PD．
（Ⅱ）取PA的中點F，連接BF，EF，通過證明四邊形BCEG是平行四邊形，可證EC∥BF，利用線面平行的判定定理即可證明CE∥平面PAB．
（Ⅲ）在平面ABCD上，延長AB，CD交于點M，由于平面PAB∩平面PCD=PM，通過證明PA=$\sqrt{2}$，AM⊥PA，利用勾股定理即可得解．

解答 （本小題滿分14分）
解：（Ⅰ）因為∠BAD=90°，
所以AB⊥AD，…（1分）
又因為AB⊥PA，…（2分）
所以AB⊥平面PAD，…（3分）
所以AB⊥PD…（4分）
（Ⅱ）取PA的中點F，連接BF，EF…（5分）
因為E為棱PD中點，所以EF∥AD，EF=$\frac{1}{2}$AD，
又因為BC∥AD，BC=$\frac{1}{2}$AD，
所以BC∥EF，BC=EF．
所以四邊形BCEG是平行四邊形，EC∥BF…（8分）
又BF?平面PAB，CE?平面PAB，
所以CE∥平面PAB…（9分）
（Ⅲ）在平面ABCD上，延長AB，CD交于點M．
因為M∈AB，
所以M∈平面PAB；又M∈CD，
所以M∈平面PCD，
所以平面PAB∩平面PCD=PM…（11分）
在△ADM中，因為BC∥AD，BC=$\frac{1}{2}$AD，
所以 AM=2AB=2…（12分）
因為PA⊥PD，
所以△APD是等腰直角三角形，所以PA=$\sqrt{2}$…（13分）
由（Ⅰ）得AM⊥平面PAD，所以AM⊥PA．
在直角△PAM中，PM=$\sqrt{P{A}^{2}+A{M}^{2}}$=$\sqrt{6}$…（14分）

點評 本題主要考查了線面垂直的判定與性質(zhì)，線面平行的判定定理，勾股定理的綜合應(yīng)用，考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于中檔題．