Question

已知a為實數(shù)，函數(shù)f（x）=（x²+1）（x+a）
（I）若f′（-1）=0，求函數(shù)y=f（x）在[-

3

2

，1]上的最大值和最小值；
（II）若對于m取任何值，直線y=

1

2

x+m都不是函數(shù)f（x）圖象的切線，求a值的范圍．

Answer 1

分析：（I）由已知中函數(shù)f（x）=（x²+1）（x+a），可得f′（x）=3x²+2ax+1，結(jié)合f′（-1）=0，求出a值，進而分析出函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性后，可得函數(shù)y=f（x）在[-

3

2

，1]上的最大值和最小值；
（II）由（I）中f′（x）=3x²+2ax+1，函數(shù)f（x）圖象沒有y=

1

2

x+m的切線，故f′（x）=

1

2

，即3x²+2ax+1=

1

2

無實數(shù)解，即△＜0，由此構(gòu)造關(guān)于a的不等式，解不等式可得a值的范圍．

解答：解：（I）∵f（x）=（x²+1）（x+a）
∴f′（x）=3x²+2ax+1
若f′（-1）=0，
即3-2a+1=0
即a=2  …（2分）
∴f′（x）=3x²+4x+1
當x∈（-∞，-1）∪（-

1

3

，+∞）時，f′（x）＞0，
當x∈（-1，-

1

3

）時，f′（x）＜0，
故函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（-∞，-1）和（-

1

3

，+∞）上為增函數(shù)
在區(qū)間（-1，-

1

3

）上為減函數(shù)…（4分）
故在區(qū)間[-

3

2

，1]上
當x=-1，f（x）取極大值2，
當x=-

1

3

，f（x）取極小值

50

27

，
又∵f（-

3

2

）=

13

8

，f（1）=6
∴函數(shù)y=f（x）在[-

3

2

，1]上的最大值為6，最小值為

13

8

；…（6分）
（II）∵f′（x）=3x²+2ax+1
又∵函數(shù)f（x）圖象沒有y=

1

2

x+m的切線
∴f′（x）=

1

2

，即3x²+2ax+1=

1

2

無實數(shù)解   …（8分）
即△=（2a）²-4×3×

1

2

＜0   …（10分）
∴-

6

2

＜a＜

6

2

  …（12分）

點評：本題考查的知識點是利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，導數(shù)的幾何意義，其中（I）的關(guān)鍵是，求出函數(shù)在閉區(qū)間上的極值和端點處的函數(shù)值，然后進行比較，（II）的關(guān)鍵是根據(jù)f′（x）=

1

2

無實數(shù)解，即△＜0，構(gòu)造關(guān)于a的不等式．