Question

若橢圓C₁：的離心率等于，拋物線C₂：x²=2py（p＞0）的焦點(diǎn)在橢圓的頂點(diǎn)上．
（1）求拋物線C₂的方程；
（2）求過(guò)點(diǎn)M（-1，0）的直線l與拋物線C₂交E、F兩點(diǎn)，又過(guò)E、F作拋物線C₂的切線l₁、l₂，當(dāng)l₁⊥l₂時(shí)，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)長(zhǎng)半軸是2求出a的值，再表示出半焦距c，根據(jù)離心率的值求出b的值，從而可得到拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，得到拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）先根據(jù)題意設(shè)出直線l的方程和點(diǎn)E、F的坐標(biāo)，然后對(duì)拋物線方程進(jìn)行求導(dǎo)運(yùn)算，進(jìn)而得到切線l₁，l₂的斜率，根據(jù)l₁⊥l₂可得到x₁•x₂的值，再聯(lián)立直線l與拋物線方程消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，進(jìn)而可表示出兩根之積，再結(jié)合x(chóng)₁•x₂的值可確定k的值，最后將k的值代入到直線方程即可得到答案．
解答：解：（1）已知橢圓的長(zhǎng)半軸為2，半焦距
由離心率等于
∴b²=1∴橢圓的上頂點(diǎn)（0，1）∴拋物線的焦點(diǎn)為（0，1）
∴拋物線的方程為x²=4y
（2）由已知，直線l的斜率必存在，設(shè)直線l的方程為y=k（x+1），E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），
，∴，
∴切線l₁，l₂的斜率分別為
當(dāng)l₁⊥l₂時(shí)，，即x₁•x₂=-4
由得：x²-4kx-4k=0
∴△=（4k）²-4×（-4k）＞0解得k＜-1或k＞0①
∴x₁•x₂=-4k=-4，即：k=1
此時(shí)k=1滿足①
∴直線l的方程為x-y+1=0
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓、拋物線的基本性質(zhì)和直線與拋物線的綜合問(wèn)題．考查對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用．