【題目】設(shè)f(n)是定義在N*上的增函數(shù),f(4)=5,且滿足:

①任意n∈N*,f(n) Z;②任意m,n∈N*,有f(m)f(n)=f(mn)+f(mn-1).

(1)求f(1),f(2),f(3)的值;

(2)求f(n)的表達式.

【答案】(1)f(1)=2,f(2)=3,f(3)=4;(2)f (n)=n+1.

【解析】試題分析:(1)利用已知的表達式,通過 ,直接求,利用函數(shù)的單調(diào)性以及,即可求出的值;(2)利用函數(shù)的單調(diào)性及數(shù)學(xué)歸納法,推出 ,又,然后求出的表達式 .

試題解析:(1)因為f(1)f(4)=f(4)+f(4),所以5 f(1)=10,則f(1)=2.

因為f(n)是單調(diào)增函數(shù)

所以2=f(1)<f(2)<f(3)<f(4)=5.

因為f(n)∈Z,所以f(2)=3,f(3)=4.

(2)解:由(1)可猜想f (n)=n+1.

證明:因為f (n)單調(diào)遞增,所以f (n+1)>f (n),又f(n)∈Z,

所以f (n+1)≥f (n)+1.

首先證明:f (n)≥n+1.

因為f (1)=2,所以n=1時,命題成立.

假設(shè)n=k(k≥1)時命題成立,即f(k)≥k+1.

f(k+1)≥f (k)+1≥k+2,即nk+1時,命題也成立.

綜上,f (n)≥n+1.

由已知可得f (2)f (n)=f (2n)+f (n+1),而f(2)=3,f (2n)≥2n+1,

所以3 f (n)≥f (n+1)+2n+1,即f(n+1)≤3 f (n)-2n-1.

下面證明:f (n)=n+1.

因為f (1)=2,所以n=1時,命題成立.

假設(shè)n=k(k≥1)時命題成立,即f(k)=k+1,

f(k+1)≤3f (k)-2k-1=3(k+1)-2k-1=k+2,

f(k+1)≥k+2,所以f(k+1)=k+2.

nk+1時,命題也成立.

所以f (n)=n+1

練習(xí)冊系列答案
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【題目】已知某企業(yè)近3年的前7個月的月利潤(單位:百萬元)如下面的折線圖所示:

1)試問這3年的前7個月中哪個月的月平均利潤最高?

2)通過計算判斷這3年的前7個月的總利潤的發(fā)展趨勢;

3)試以第3年的前4個月的數(shù)據(jù)(如下表),用線性回歸的擬合模式估測第38月份的利潤.

月份x

1

2

3

4

利潤y(單位:百萬元)

4

4

6

6

相關(guān)公式: ,

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(2)若方程組每個解對應(yīng)平面直角坐標系中點P(x,y),求點P落在第四象限的概率.

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A.
B.
C.
D.

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【題目】已知函數(shù).

(1).當時,求的單調(diào)增區(qū)間;

(2)當,對于任意,都有,求實數(shù)的取值范圍;

(3)若函數(shù)的圖象始終在直線的下方,求實數(shù)的取值范圍.

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【題目】如圖,已知 =(2,1), =(1,7), =(5,1),設(shè)Z是直線OP上的一動點.

(1)求使 取最小值時的 ;
(2)對(1)中求出的點Z,求cos∠AZB的值.

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【題目】已知函數(shù)f(x)=(x+1)ln xa(x-1).

(1)當a=4時,求曲線yf(x)在(1,f(1))處的切線方程;

(2)若當x∈(1,+∞)時,f(x)>0恒成立,求a的取值范圍.

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【題目】已知k∈R, =(k,1), =(2,4),若| |< ,則△ABC是鈍角三角形的概率是( )
A.
B.
C.
D.

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【題目】如圖,三棱錐P﹣ABC中,PC⊥平面ABC,PC=3,∠ACB= .D,E分別為線段AB,BC上的點,且CD=DE= ,CE=2EB=2

(1)證明:DE⊥平面PCD
(2)求二面角B﹣PD﹣C的余弦值.

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