Question

2．已知函數(shù)f（x）=cosx•sin（x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{4}$，x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）當(dāng)方程f（x）-4a=0在閉區(qū)間[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上有兩個(gè)不同的根時(shí)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由條件利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的周期性求得f（x）的最小正周期．
（2）由題意，函數(shù)f（x）的圖象和直線y=4a在閉區(qū)間[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，由于f（x）在[-$\frac{π}{4}$，-$\frac{π}{12}$]上是減函數(shù)，在[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{4}$]上是增函數(shù)，而f（-$\frac{π}{4}$）=-$\frac{1}{4}$，f（-$\frac{π}{12}$）=-$\frac{1}{2}$，f（$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{4}$，可得4a＞-$\frac{1}{2}$，且4a≤-$\frac{1}{4}$，求得a的范圍．

解答 解：（1）由已知函數(shù)f（x）=cosx•sin（x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{4}$=cosx（$\frac{1}{2}$sinx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx）-$\sqrt{3}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{4}$
=$\frac{1}{2}$sinxcosx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$•$\frac{1+cos2x}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{4}$=$\frac{1}{4}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{4}$cos2x=$\frac{1}{2}$sin（2x-$\frac{π}{3}$），
故函數(shù)的最小正周期為$\frac{2π}{2}$=π．
（2）當(dāng)方程f（x）-4a=0在閉區(qū)間[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上有兩個(gè)不同的根時(shí)，
等價(jià)于函數(shù)f（x）的圖象和直線y=4a在閉區(qū)間[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
由于f（x）在[-$\frac{π}{4}$，-$\frac{π}{12}$]上是減函數(shù)，在[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{4}$]上是增函數(shù)，而f（-$\frac{π}{4}$）=-$\frac{1}{4}$，f（-$\frac{π}{12}$）=-$\frac{1}{2}$，f（$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{4}$，
故4a＞-$\frac{1}{2}$，且4a≤-$\frac{1}{4}$，求得-$\frac{1}{8}$＜a≤-$\frac{1}{16}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性，方程根的存在性以及個(gè)數(shù)判斷，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．