Question

已知函數(shù)．

（1）若在定義域上為增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；

（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）詳見解析

【解析】

試題分析：（1）將函數(shù)在定義域上為增函數(shù)轉(zhuǎn)化為不等式在定義域上恒成立的問題去處理，并借助參數(shù)分離法求參數(shù)的取值范圍；（2）對的范圍進(jìn)行分類討論，確定函數(shù)在上的單調(diào)性，進(jìn)而確定函數(shù)在上的最小值。

試題解析：（1）因為函數(shù)，

所以函數(shù)的定義域為．                          1分

且．                                 2分

若在定義域上是增函數(shù)，

則在上恒成立．                      3分

即在上恒成立，所以．                       4分

由已知，

所以實數(shù)的取值范圍為．                          5分

（2）①若，由（1）知，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)．

所以函數(shù)在區(qū)間上的最小值為．                   6分

②若，由于，

所以函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，在區(qū)間上為增函數(shù)．         7分

（�。┤�，即時，，

函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，

所以函數(shù)在的最小值為．                      9分

（ⅱ）若，即時，

函數(shù)在區(qū)間為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，

所以函數(shù)在區(qū)間上的最小值為．              11分

（ⅲ）若，即時，，

函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，

所以函數(shù)在的最小值為．                  13分

綜上所述，當(dāng)且時，函數(shù)在區(qū)間上的最小值為．

當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間的最小值為．

當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上的最小值為．      14分

考點：分離參數(shù)法解決不等式恒成立問題，分類討論法求函數(shù)的最值