正三棱錐P-ABC中，PA=1，則其體積的最大值是________．


分析：設(shè)H為底面△ABC的中心，延長(zhǎng)AH交BC于E，連接PH．設(shè)AB=x，則AH=x，得三棱錐P-ABC體積V=x2，最后利用基本不等式求最值，可得當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí)，正三棱錐P-ABC體積的最大值為．
解答：解：設(shè)H為底面△ABC的中心，延長(zhǎng)AH交BC于E，連接PH
∵三棱錐P-ABC是正三棱錐
∴PH⊥平面ABC，且AE是BC邊上的中線
設(shè)AB=x，則AH=AE=x=x
Rt△PAH中，PH==
∴三棱錐P-ABC體積V=S△ABC•AH=×x2×
=x2
∵x2=2，
且••（3-x2）≤（）3=1
∴x2≤2，可得V=x2≤
當(dāng)且僅當(dāng)=3-x2時(shí)，即x=時(shí)，正三棱錐P-ABC體積的最大值為
故答案為：
點(diǎn)評(píng)：本題給出正三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為1，求體積的最大值．著重考查了正三棱錐的性質(zhì)和錐體體積公式等知識(shí)，屬于中檔題．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，在正三棱錐P-ABC中，M、N分別是側(cè)棱PB、PC的中點(diǎn)，若截面AMN⊥側(cè)面PBC，則此三棱錐的側(cè)棱與底面所成角的正切值是．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在正三棱錐P-ABC中，三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長(zhǎng)為a，則點(diǎn)P到平面ABC的距離為
3
3
a
3
3
a
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2008•鎮(zhèn)江一模）在正三棱錐P-ABC中，D，E分別是AB，BC的中點(diǎn)，有下列三個(gè)結(jié)論：①AC⊥PB； ②AC∥平面PDE；③AB⊥平面PDE．則所有正確結(jié)論的序號(hào)是
①②
①②
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在正三棱錐P-ABC中，E、F分別是PA、AB的中點(diǎn)，若∠CEF=90°，且AB=
2
，則三棱錐P-ABC外接球的表面積為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在正三棱錐P-ABC中，M，N分別是PB，PC的中點(diǎn)，若截面AMN⊥側(cè)面PBC，則此棱錐截面與底面所成的二面角正弦值是
6
6
6
6
．

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