Question

20．已知函數f（x）=2xlnx．
（1）求函數f（x）的單調區(qū)間；
（2）經過點（0，-2）作函數f（x）圖象的切線，求該切線的方程；
（3）當x∈（1，+∞）時f（x）＜λ（x²-1）恒成立，求常數λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求出其導函數，再讓其導函數大于0對應區(qū)間為增區(qū)間，小于0對應區(qū)間為減區(qū)間即可．（注意是在定義域內找單調區(qū)間）
（2）設切點的坐標為（x₀，2x₀lnx₀），設切線的斜率為k，根據斜率公式和導數的幾何意義即可求出斜率，問題，問題得以解決；
（3）構造g（x）=2lnx-λ（x-$\frac{1}{x}$），則g（x）＜0在x∈（1，+∞）時恒成立，求導，再構造函數h（x）=-λx²+2x-λ，對λ進行分類討論，利用其導函數求出函數的最值即可求實數λ的取值范圍．

解答 解：（1）∵f（x）=2xlnx，x＞0，
∴f′（x）=2lnx+2，
令f′（x）＞0得增區(qū)間（$\frac{1}{e}$，+∞），
令f′（x）＜0得減區(qū)間（0，$\frac{1}{e}$）；
（2）設切點的坐標為（x₀，2x₀lnx₀），
設切線的斜率為k，一方面k=$\frac{2{x}_{0}ln{x}_{0}-（-2）}{{x}_{0}-0}$，
另一方面k=f′（x₀）=2lnx₀+2，
從而有$\frac{2{x}_{0}ln{x}_{0}-（-2）}{{x}_{0}-0}$=2lnx₀+2，
化簡得x₀=1，
從而切點坐標為（1，0），
∴切線方程為y=2x-2；
（3）由已知x∈（1，+∞）時2xlnx＜λ（x²-1）恒成立，等價于2lnx＜λ（x-$\frac{1}{x}$）在x∈（1，+∞）恒成立
構造g（x）=2lnx-λ（x-$\frac{1}{x}$），則g（x）＜0在x∈（1，+∞）時恒成立
由g（2）＜0即2ln2-$\frac{3}{2}$λ＜0得必要條件λ＞0，
∴g′（x）=$\frac{2}{x}$-λ（1+$\frac{1}{{x}^{2}}$）=$\frac{-λ{x}^{2}+2x-λ}{{x}^{2}}$，
記h（x）=-λx²+2x-λ，判別式△=4-4λ²，
若λ≥1，則△≤0，且h（x）開口向下，故h（x）≤0恒成立，此時g′（x）≤0恒成立，
從而g（x）在（1，+∞）上單調遞減，故g（x）＜f（1）=0，符合題意
若0＜λ＜1，則△＞0，此時h（x）=0有兩個實數根x₁，x₂，不妨設x₁＜x₂，由韋達定理得
x₁+x₂=$\frac{2}{λ}$＞0，x₁，•x₂=1＞0，故x₁，x₂均為正數，且x₁＜1＜x₂，
從而h（x）=0在（1，+∞）上有唯一的實數根x₂，結合圖象知：
當x∈（1，x₂）時h（x）＞0，即g′（x）＞0，
∴g（x）在（1，x₂）上單調遞增，
故當x∈（1，x₂）時，g（x）＞g（1）=0，不符合題意
綜上：λ的取值范圍為[1，+∞）．

點評 本題考查了導數求閉區(qū)間上函數的最值和單調性，導數的幾何意義以及斜率公式，以及不等式恒成立的問題，屬于中檔題．