Question

已知定點(diǎn)A（1，0），B（-1，0），C（0，1），D（0，2），動(dòng)點(diǎn)P滿足：．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P軌跡M的方程，并說明方程表示的曲線類型；
（2）當(dāng)k=2時(shí)：
①E是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，EK，EQ分別切曲線M于K，Q兩點(diǎn)，如果，求線段KQ的垂直平分線方程；
②若E點(diǎn)在△ABC邊上運(yùn)動(dòng)，EK，EQ分別切曲線M于K，Q兩點(diǎn)，求四邊形DKEQ的面積的取值范圍．

Answer 1

解：（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為P（x，y），
則=（x-1，y），=（x+1，y），=（x，1-y）；
因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.1010pic.com/pic5/latex/71777.png' />，所以x²+y²-1=K[x²+（y-1）²]；
整理得：（k-1）x²+（k-1）y²+k+1=0；
若k=1，則方程為y=1，表示過點(diǎn)（0，1）且平行與x軸的直線，
若k≠1，則方程化為x²+（y-）²=（）²，表示以（0，）為圓心，||為半徑的圓．
（2）①因?yàn)閗=2，所以方程為x²+（y-2）²=1，圓心為D，如圖，
由|KQ|=可得|DN|=，
由射影定理可得|DQ|2=|DN||DE，得|DE|=，
在Rt△DOE中，|OE|=1，得E（1，0）（-1，0），
ED⊥KQ且平分KQ，所以DE的方程為2x+y-2=0或2x-y+1=0（0＜y＜1）；
②L_BC：x+y-1=0（0＜y＜1），L_AC：x-y+1=0（0＜y＜1），
當(dāng)E（a，b）在線段AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，
S_DKEQ=2S_△DKE=DK•KE==（0＜b＜1），
所以0＜S_DKEQ＜2，
同理，當(dāng)E（a，b）在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，0＜S_DKEQ＜2
當(dāng)E（a，b）在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，E（a，0）（-1≤a≤1），
S_DKEQ=2S_△DKE=DK•KE=（-1≤a≤1），
所以≤S_DKEQ≤2，
綜上可得，0≤S_DKEQ≤2．
分析：（1）根據(jù)題意，設(shè)出P的坐標(biāo)（x，y）；可得則、、的坐標(biāo)，代入中，可得（k-1）x²+（k-1）y²+k+1=0；分K=1與k≠1兩種情況討論，可得答案．
（2）①根據(jù)題意k=2，代入（1）的方程可得x²+（y-2）²=1，進(jìn)而|DN|=，結(jié)合射影定理計(jì)算可得|DE|=，在Rt△DOE中，由|OE|=1，得E的坐標(biāo)，又由ED⊥KQ且平分KQ，由直線的點(diǎn)斜式方程可得答案；
②由（1）可得線段BC、AC的方程，按E的在△ABC的三邊上不同位置，不同分3種情況討論；求出S_DKEQ的范圍，綜合可得答案．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓的方程的綜合運(yùn)用，是解析幾何中典型題目，有一定的難度；解題時(shí)，要注意不能遺漏對(duì)特殊情況的討論，如本題（1）中對(duì)k=1的討論．