Question

已知函數(shù)g（x）=

x2+ax+b

x

，x∈（0，+∞）．
（1）若g（x）在（0，1）上是減函數(shù)，在[1，+∞）上的增函數(shù)，求實(shí)數(shù)b的值；
（2）若（1）的條件下，若g（x）的最小值是1，求函數(shù)g（x）的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用,函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由已知得g（x）=x+a+

b

x

，g（x）在x=1時(shí)取得最小值，由此利用基本不等能求出實(shí)數(shù)b的值為1．
（2）由（1）知g（x）的最小值為a+2當(dāng)g（x）的最小值為1時(shí)，a+2=1，由此能求出g（x）=

x2-x+1

x

．

解答： 解：（1）∵g（x）=

x2+ax+b

x

，x∈（0，+∞），
∴g（x）=x+a+

b

x

，
∵g（x）在（0，1）上是減函數(shù)，在[1，+∞）上是增函數(shù)，
∴g（x）在x=1時(shí)取得最小值，
∵g（x）=（x+

b

x

）+a≥2

x• b x

+a=2

b

+a，
∴當(dāng)x=

b

x

=1時(shí)取得最小值，所以有b=1，
實(shí)數(shù)b的值為1．
（2）由（1）知g（x）的最小值為a+2
∴當(dāng)g（x）的最小值為1時(shí)，
a+2=1，解得a=-1，
所以g（x）=

x2-x+1

x

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查實(shí)數(shù)值的求法，考查函數(shù)的解析式的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)性質(zhì)和均值不等式的合理運(yùn)用．