Question

設(shè)

a

= (

x

2

 ， -

y

2

)，

b

= (

x

2

 ， -

y

2

)，P（x，y）是曲線C上任意一點(diǎn)，且滿足

a

•

b

=1．O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線l：x-y-1=0與曲線C交于不同兩點(diǎn)A和B．（1）求

OA

• 

OB

；（2）設(shè)點(diǎn)M（2，0），求MP的中點(diǎn)Q的軌跡方程．

Answer 1

（1）曲線C為橢圓

x2

2

+

y2

4

=1．設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）是直線與橢圓的交點(diǎn)，
將y=x-1代入

x2

2

+

y2

4

=1，消去y，得3x²-2x-3=0．
則x1+x2=

2

3

 ， x1x2=-1，y₁y₂=（x₁-1）（x₂-1）=x₁x₂-（x₁+x₂）+1，∴

OA

• 

OB

=x1x2+y1y2=-

5

3

．
（2）設(shè)Q（x，y），則P（2x-2，2y），得

(2x-2)2

2

+

(2y)2

4

=1，則2（x-1）²+y²=1即為所求．