Question

15．已知A（1，0，0），B（0，2，0），C（0，0，3），求三個坐標(biāo)平面與平面ABC夾角的余弦．

Answer 1

分析 先求出平面ABC的法向量，再利用法向量的夾角公式即可得出．

解答 解：∵A（1，0，0），B（0，2，0），C（0，0，3），
∴$\overrightarrow{AB}=（-1，2，0）$，$\overrightarrow{AC}=（-1，0，3）$．
設(shè)平面ABC的法向量為$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=-x+2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=-x+3z=0}\end{array}\right.$，
令x=2，則y=1，z=$\frac{2}{3}$．∴$\overrightarrow{n}=（2，1，\frac{2}{3}）$．
①取平面xoy的法向量$\overrightarrow{m}=（0，0，1）$．
則$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|\;|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\frac{2}{3}}{1×\sqrt{{2}^{2}+1+（\frac{2}{3}）^{2}}}$=$\frac{2}{7}$．
則平面x0y與平面ABC夾角的余弦為$\frac{2}{7}$．
②設(shè)平面xoz的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，1，0）．
則$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|\;|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{1×\sqrt{{2}^{2}+1+（\frac{2}{3}）^{2}}}$=$\frac{3}{7}$．
則平面x0z與平面ABC夾角的余弦為$\frac{3}{7}$．
③設(shè)平面yoz的法向量$\overrightarrow{m}$=（1，0，0）．
則$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|\;|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{1×\sqrt{{2}^{2}+1+（\frac{2}{3}）^{2}}}$=$\frac{6}{7}$．
則平面y0z與平面ABC夾角的余弦為$\frac{6}{7}$．

點評 本題主要考查二面角的計算，利用向量法是解決二面角的常用方法，熟練掌握利用二面角的兩個半平面的法向量的夾角公式求得二面角是解題的關(guān)鍵．